Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir surveillé 3

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(6 points)
Transformations du plan
Soit ABCABC un triangle du plan. On désigne par II le milieu du segment [BC][BC]. On considère l'homothétie hh de centre AA et de rapport k=2k = 2, et la translation tt de vecteur u⃗=AC→\vec{u} = \overrightarrow{AC}.
1)Construire les points B′B' et C′C', images respectives des points BB et CC par l'homothétie hh. Exprimer le vecteur A′C′→\overrightarrow{A'C'} en fonction du vecteur AC→\overrightarrow{AC}.
1.5 pts
2)Soit MM un point appartenant à la droite (BC)(BC) et M′M' son image par hh. Montrer que le point M′M' appartient à la droite (B′C′)(B'C').
1.5 pts
3)Déterminer l'image de la droite (AI)(AI) par l'homothétie hh, puis en déduire que le milieu I′I' du segment [B′C′][B'C'] est l'image du point II par hh.
1.5 pts
4)Soit D=t(A)D = t(A) l'image du point AA par la translation tt. Montrer que ABCDABCD est un parallélogramme et déterminer l'image du segment [AB][AB] par la translation tt.
1.5 pts
Exercice 2(4 points)
Produit scalaire
Soit ABCABC un triangle tel que AB=5AB = 5, AC=7AC = 7 et BC=8BC = 8. Soit II le milieu du segment [BC][BC].
1)En utilisant le théorème d'Al-Kashi dans le triangle ABCABC, calculer la valeur exacte du produit scalaire AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.
1.5 pts
2)Calculer la longueur de la médiane AIAI à l'aide du théorème de la médiane.
1.5 pts
3)Déterminer la valeur exacte de cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}), puis donner la mesure approchée de l'angle BAC^\widehat{BAC} au degré près.
1 pt
Exercice 3(10 points)
Géométrie dans l'espace
On considère un cube ABCDEFGHABCDEFGH d'arête a=6 cma = 6\text{ cm}. Soit II le milieu du segment [EF][EF] et JJ le milieu du segment [FG][FG].
1)Démontrer que les droites (IJ)(IJ) et (EG)(EG) sont parallèles, puis déterminer la position relative de la droite (IJ)(IJ) et du plan (EGCA)(EGCA).
2 pts
2)Montrer que la droite (IJ)(IJ) est parallèle au plan (ABC)(ABC).
2 pts
3)Démontrer que la droite (AE)(AE) est orthogonale au plan (ABC)(ABC), puis en déduire que la droite (AE)(AE) est orthogonale à la droite (IJ)(IJ).
2 pts
4)Soit MM le milieu du segment [AE][AE]. Déterminer l'intersection du plan (IJM)(IJM) avec la face AEFBAEFB, puis tracer la section du cube par le plan (IJM)(IJM).
2 pts
5)On considère le tétraèdre EABCEABC. Justifier que la droite (EA)(EA) est la hauteur issue de EE de ce tétraèdre et calculer son volume en cm3\text{cm}^3.
2 pts
Fin du sujet