Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir surveillé 2

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(10 points)
Fonctions numériques - Étude d'une fonction polynôme du second degré
Soit ff la fonction numérique d'une variable réelle xx définie par f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3, et soit (Cf)(C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).
1)Déterminer l'ensemble de définition DfD_f de la fonction ff, puis calculer les images des nombres 00, 22 et 33 par ff.
1.5 pts
2)Montrer que pour tout réel xx, f(x)=(x−2)2−1f(x) = (x - 2)^2 - 1. En déduire que la fonction ff admet une valeur minimale sur R\mathbb{R} que l'on précisera.
2 pts
3)Étudier les variations de la fonction ff sur l'intervalle ]−∞,2]]-\infty, 2] et sur l'intervalle [2,+∞[[2, +\infty[, puis dresser son tableau de variations complet.
2.5 pts
4)Préciser la nature géométrique de la courbe (Cf)(C_f), donner les coordonnées de son sommet SS ainsi que l'équation de son axe de symétrie, puis tracer (Cf)(C_f) dans le repère (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).
2 pts
5)Résoudre graphiquement puis vérifier algébriquement l'inéquation f(x)≤0f(x) \le 0.
2 pts
Exercice 2(10 points)
Fonctions numériques - Étude d'une fonction homographique et interprétation graphique
Soit gg la fonction numérique définie par g(x)=2x−1x+1g(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}, et soit (Cg)(C_g) sa courbe représentative dans le même repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).
1)Déterminer l'ensemble de définition DgD_g de la fonction gg.
1.5 pts
2)Montrer que pour tout x∈Dgx \in D_g, on a : g(x)=2−3x+1g(x) = 2 - \frac{3}{x + 1}.
2 pts
3)Étudier le sens de variation de la fonction gg sur chacun des intervalles ]−∞,−1[]-\infty, -1[ et ]−1,+∞[]-1, +\infty[, puis dresser le tableau de variations de gg.
2.5 pts
4)Déterminer la nature de la courbe (Cg)(C_g), préciser les coordonnées de son centre de symétrie Ω\Omega et les équations de ses asymptotes, puis tracer (Cg)(C_g) dans le repère (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).
2 pts
5)Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (Cg)(C_g) avec les axes du repère, puis résoudre graphiquement l'équation g(x)=0g(x) = 0.
2 pts
Fin du sujet