Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir surveillé 1

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(6 points)
Abscisses curvilignes, simplifications et angles usuels
Cet exercice évalue la maîtrise du cercle trigonométrique, de l'abscisse curviligne principale et des propriétés de symétrie des angles réduits.
1)Déterminer l'abscisse curviligne principale du point AA d'abscisse x=2025π4x = \frac{2025\pi}{4}.
1.5 pts
2)Placer sur un cercle trigonométrique les points MM, NN et PP d'abscisses curvilignes principales respectives π6\frac{\pi}{6}, 2π3\frac{2\pi}{3} et −3π4-\frac{3\pi}{4}.
1.5 pts
3)Pour tout réel xx, simplifier l'expression suivante : A(x)=cos⁡(π−x)+sin⁡(π+x)+cos⁡(π2−x)+sin⁡(π2+x)A(x) = \cos(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)
1.5 pts
4)Calculer la valeur exacte de la somme : B=cos⁡2(π8)+cos⁡2(3π8)+cos⁡2(5π8)+cos⁡2(7π8)B = \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{5\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{7\pi}{8}\right)
1.5 pts
Exercice 2(4 points)
Identités trigonométriques et calcul de rapports
Cet exercice teste l'utilisation des relations fondamentales entre le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle réel.
1)Soit xx un nombre réel tel que sin⁡(x)=−35\sin(x) = -\frac{3}{5} et x∈]−π,−π2[x \in \left]-\pi, -\frac{\pi}{2}\right[. Déterminer la valeur exacte de cos⁡(x)\cos(x), puis en déduire la valeur de tan⁡(x)\tan(x).
2 pts
2)Montrer que pour tout x∈R∖{π2+kπ,k∈Z}x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}, on a : 11−sin⁡(x)+11+sin⁡(x)=2cos⁡2(x)\frac{1}{1 - \sin(x)} + \frac{1}{1 + \sin(x)} = \frac{2}{\cos^2(x)}
2 pts
Exercice 3(7 points)
Équations et inéquations trigonométriques
Cet exercice aborde la résolution d'équations et d'inéquations trigonométriques fondamentales et l'interprétation de leurs solutions sur le cercle trigonométrique.
1)a) Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : cos⁡(2x)=32\cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}. b) En déduire les solutions dans l'intervalle ]−π,π]]-\pi, \pi], puis les représenter sur le cercle trigonométrique.
2.5 pts
2)Résoudre dans l'intervalle [0,2π[[0, 2\pi[ l'équation : 2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)=02\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x) = 0
2 pts
3)Résoudre dans l'intervalle [0,2π[[0, 2\pi[ l'inéquation : 2cos⁡(x)−1≥02\cos(x) - 1 \ge 0 en représentant la démarche sur le cercle trigonométrique.
2.5 pts
Exercice 4(3 points)
Relations métriques dans un triangle
Cet exercice applique les formules trigonométriques dans un triangle quelconque (Théorème d'Al-Kashi et formule de l'aire).
1)Soit ABCABC un triangle tel que BC=7BC = 7, AC=5AC = 5 et ACB^=π3\widehat{ACB} = \frac{\pi}{3}. En utilisant le théorème d'Al-Kashi, calculer la longueur du côté ABAB.
1.5 pts
2)Calculer l'aire SS du triangle ABCABC.
1.5 pts
Fin du sujet