Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir à la maison 3

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(6 points)
Transformations du plan
Soit ABCABC un triangle non aplati du plan. On considère la translation tAB→t_{\overrightarrow{AB}} de vecteur AB→\overrightarrow{AB} et l'homothétie hh de centre AA et de rapport 22.
1)Déterminer l'image du point AA par la translation tAB→t_{\overrightarrow{AB}}, puis construire le point DD image du point CC par l'homothétie hh.
2 pts
2)Exprimer le vecteur AD→\overrightarrow{AD} en fonction de AC→\overrightarrow{AC}, puis en déduire l'expression de AD→\overrightarrow{AD} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
2 pts
3)Soit II le milieu du segment [BC][BC]. Montrer que l'image du point II par l'homothétie hh est le milieu du segment [BD][BD].
2 pts
Exercice 2(4 points)
Produit scalaire
Soit ABCABC un triangle tel que AB=5AB = 5, AC=6AC = 6 et BC=7BC = 7. Soit II le milieu du segment [BC][BC].
1)En utilisant le théorème d'Al-Kashi dans le triangle ABCABC, calculer le produit scalaire AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} puis déterminer cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}).
2 pts
2)En utilisant le théorème de la médiane, calculer la longueur exacte du segment [AI][AI].
2 pts
Exercice 3(10 points)
Géométrie dans l'espace
Soit SABCDSABCD une pyramide dont la base ABCDABCD est un rectangle de centre OO. La droite (SA)(SA) est orthogonale au plan (ABC)(ABC). On donne AB=4AB = 4, AD=3AD = 3 et SA=5SA = 5.
1.a)Démontrer que la droite (SA)(SA) est orthogonale à la droite (BC)(BC).
1.5 pts
1.b)En déduire que la droite (BC)(BC) est orthogonale au plan (SAB)(SAB).
1.5 pts
2)Démontrer que le triangle SBCSBC est rectangle en BB.
2 pts
3)Calculer les longueurs exactes des segments [AC][AC], [SB][SB] et [SC][SC].
3 pts
4)Soit II le milieu du segment [SC][SC] et JJ le milieu du segment [SA][SA]. Montrer que la droite (IJ)(IJ) est parallèle au plan (ABC)(ABC).
2 pts
Fin du sujet