Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir à la maison 2

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(8 points)
Généralités sur les fonctions numériques, parité et extrema
Soit ff la fonction numérique d'une variable réelle xx définie par f(x)=2xx2+1f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}.
1)Déterminer DfD_f, l'ensemble de définition de la fonction ff.
1.5 pts
2)Étudier la parité de la fonction ff sur DfD_f et interpréter géométriquement le résultat.
2 pts
3.a)Montrer que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, 1−f(x)=(x−1)2x2+11 - f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}.
2 pts
3.b)En déduire que ff admet un maximum absolu sur R\mathbb{R} en un point x0x_0 à déterminer.
2.5 pts
Exercice 2(12 points)
Étude de fonctions de référence (Polynôme du second degré et fonction homographique)
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), on considère les fonctions gg et hh définies par g(x)=x2−4x+3g(x) = x^2 - 4x + 3 et h(x)=x−1x−2h(x) = \frac{x - 1}{x - 2}. On note (Cg)(\mathcal{C}_g) et (Ch)(\mathcal{C}_h) leurs courbes représentatives respectives.
1.a)Déterminer la forme canonique de g(x)g(x).
1.5 pts
1.b)Déterminer le sommet WW et l'axe de symétrie de la parabole (Cg)(\mathcal{C}_g), puis dresser le tableau de variations de gg sur R\mathbb{R}.
2.5 pts
2.a)Déterminer l'ensemble de définition DhD_h de la fonction hh.
1 pt
2.b)Déterminer le centre de symétrie Ω\Omega et les équations des asymptotes de l'hyperbole (Ch)(\mathcal{C}_h), puis dresser le tableau de variations de hh.
2.5 pts
3)Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection de la parabole (Cg)(\mathcal{C}_g) avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
2 pts
4)Résoudre algébriquement dans R\mathbb{R} l'inéquation h(x)≤0h(x) \le 0.
2.5 pts
Fin du sujet