Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir à la maison 1

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(6 points)
Calcul trigonométrique, mesure principale et simplifications
Cet exercice vise à évaluer la maîtrise des abscisses curvilignes principales, l'application des formules de réduction et l'utilisation des relations fondamentales de la trigonométrie.
1)Déterminer la mesure principale associée à chacune des abscisses curvilignes suivantes : x1=31π4x_1 = \frac{31\pi}{4} et x2=−17π3x_2 = -\frac{17\pi}{3}.
2 pts
2)Soit x∈Rx \in \mathbb{R}. Simplifier l'expression suivante : A(x)=cos⁡(π−x)+sin⁡(π2+x)−cos⁡(x+4π)+sin⁡(π+x)A(x) = \cos(\pi - x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) - \cos(x + 4\pi) + \sin(\pi + x)
2 pts
3)Soit x∈]π,3π2[x \in \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[ tel que sin⁡(x)=−35\sin(x) = -\frac{3}{5}. Calculer la valeur exacte de cos⁡(x)\cos(x), puis en déduire celle de tan⁡(x)\tan(x).
2 pts
Exercice 2(8 points)
Équations et inéquations trigonométriques
Cet exercice porte sur la résolution d'équations et d'inéquations trigonométriques fondamentales et l'exploitation du cercle trigonométrique.
1)Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : 2cos⁡(x)−1=02\cos(x) - 1 = 0.
1.5 pts
2)Déduire les solutions de l'équation 2cos⁡(x)−1=02\cos(x) - 1 = 0 dans l'intervalle ]−π,π]]-\pi, \pi], puis représenter les points images de ces solutions sur le cercle trigonométrique.
2 pts
3)Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : 3tan⁡(x)+1=0\sqrt{3}\tan(x) + 1 = 0.
1.5 pts
4)À l'aide du cercle trigonométrique, résoudre dans l'intervalle [0,2π[[0, 2\pi[ l'inéquation : 2sin⁡(x)−2≥02\sin(x) - \sqrt{2} \ge 0.
3 pts
Exercice 3(6 points)
Applications de la trigonométrie à la géométrie et relations dans le triangle
Soit ABCABC un triangle tel que AB=6 cmAB = 6\text{ cm}, AC=8 cmAC = 8\text{ cm} et BAC^=π3\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}.
1)Calculer l'aire SS du triangle ABCABC en utilisant la formule S=12AB⋅AC⋅sin⁡(BAC^)S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{BAC}).
2 pts
2)En utilisant le théorème d'Al-Kashi dans le triangle ABCABC, montrer que BC=213 cmBC = 2\sqrt{13}\text{ cm}.
2 pts
3)En utilisant la relation BCsin⁡(BAC^)=2R\frac{BC}{\sin(\widehat{BAC})} = 2R, déterminer la valeur exacte du rayon RR du cercle circonscrit au triangle ABCABC.
2 pts
Fin du sujet