Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir surveillé 3

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(5 points)
Les polynômes
On considère le polynôme P(x)=2x3−3x2−3x+2P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2.
1)Montrer que 22 est une racine du polynôme P(x)P(x).
1 pt
2)Effectuer la division euclidienne de P(x)P(x) par x−2x - 2 pour déterminer le polynôme Q(x)Q(x) tel que P(x)=(x−2)Q(x)P(x) = (x - 2)Q(x).
2 pts
3)Déterminer les racines du polynôme Q(x)Q(x), puis en déduire la factorisation complète de P(x)P(x) en produit de facteurs du premier degré.
2 pts
Exercice 2(7 points)
Les équations, les inéquations et les systèmes
Cet exercice comporte deux parties indépendantes visant à évaluer la résolution d'équations, d'inéquations du second degré ainsi que la résolution de systèmes du premier degré.
1)Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation du second degré : 2x2+x−3=02x^2 + x - 3 = 0.
2 pts
2)Dresser le tableau de signes du trinôme 2x2+x−32x^2 + x - 3, puis en déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation 2x2+x−3≤02x^2 + x - 3 \le 0.
2 pts
3)Résoudre dans R2\mathbb{R}^2 le système d'équations suivant à l'aide de la méthode des déterminants (Cramer) : {3x−y=52x+3y=7\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}
3 pts
Exercice 3(6 points)
Calcul trigonométrique - Première partie
On étudie la mesure des angles orientés et les relations trigonométriques fondamentales.
1)Déterminer l'abscisse curviligne principale du point AA d'abscisse curviligne x=25π4x = \frac{25\pi}{4}.
1.5 pts
2)Déduire de la question précédente les valeurs exactes de cos⁡(25π4)\cos\left(\frac{25\pi}{4}\right) et sin⁡(25π4)\sin\left(\frac{25\pi}{4}\right).
1.5 pts
3)Soit x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] un nombre réel tel que cos⁡(x)=45\cos(x) = \frac{4}{5}. Calculer les valeurs exactes de sin⁡(x)\sin(x) et de tan⁡(x)\tan(x).
3 pts
Exercice 4(2 points)
Statistique
Le tableau suivant présente la répartition des notes obtenues par un groupe d'élèves lors d'un contrôle de mathématiques : | Note (xix_i) | 8 | 10 | 12 | 15 | |---|---|---|---|---| | Effectif (nin_i) | 3 | 5 | 8 | 4 |
1)Calculer la moyenne arithmétique xˉ\bar{x} de cette série statistique.
1 pt
2)Déterminer le mode et la médiane de cette série statistique.
1 pt
Fin du sujet