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Exercice 1(6 points)

Ensembles de nombres

\mathbb{N}

,

\mathbb{Z}

,

\mathbb{D}

,

\mathbb{Q}

,

\mathbb{R}

Exercice portant sur la simplification d'expressions algébriques, le calcul avec les radicaux et les identités remarquables.

1)Simplifier le nombre

A = \sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \sqrt{3}

, puis préciser le plus petit ensemble de nombres auquel appartient

A

.

1.5 pts

2.a)On pose

x = 3 + 2\sqrt{2}

et

y = 3 - 2\sqrt{2}

. Calculer

x \times y

et

x + y

.

1.5 pts

2.b)Soit

B = \sqrt{x} + \sqrt{y}

. Calculer

B^2

, puis en déduire une écriture simplifiée de

B

.

1.5 pts

3)Développer et simplifier l'expression

C = (x + 1)^3 - (x - 1)^3

.

1.5 pts

Exercice 2(8 points)

L'ordre dans

\mathbb{R}

Exercice portant sur les techniques de comparaison, l'encadrement, les majorations/minorations et la résolution d'inéquations avec valeur absolue.

1)Comparer les réels

a = 3\sqrt{5}

et

b = 4\sqrt{3}

en comparant leurs carrés.

1.5 pts

2.a)Soient

x

et

y

deux nombres réels tels que

2 \le x \le 5

et

-3 \le y \le -1

. Donner un encadrement de

x + y

,

x - y

et

x \times y

.

3 pts

2.b)En déduire un encadrement du nombre

E = \dfrac{x + 1}{x - y}

.

1.5 pts

3)Résoudre dans

\mathbb{R}

l'inéquation

|2x - 3| \le 5

et écrire l'ensemble des solutions sous forme d'un intervalle.

2 pts

Exercice 3(6 points)

La droite dans le plan

Le plan est muni d'un repère orthonormé

(O, \vec{i}, \vec{j})

. On considère les points

A(2, 3)

,

B(-1, 1)

et

C(0, -2)

.

1)Déterminer les coordonnées des vecteurs

\overrightarrow{AB}

et

\overrightarrow{AC}

, puis montrer que les points

A

,

B

et

C

ne sont pas alignés.

1.5 pts

2)Déterminer une représentation paramétrique et une équation cartésienne de la droite

(AB)

.

2 pts

3.a)Soit

(\Delta)

la droite d'équation cartésienne

2x - 3y + 6 = 0

. Déterminer un vecteur directeur

\vec{u}

de

(\Delta)

.

1 pt

3.b)Étudier la position relative des droites

(AB)

et

(\Delta)

.

1.5 pts