Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir surveillé 2

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(6 points)
Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ et ℝ et calcul dans ℝ
Cet exercice évalue les capacités de simplification, de calcul dans R\mathbb{R} et de distinction des ensembles de nombres.
1)Soit A=7−43+7+43A = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}. Montrer que A2=16A^2 = 16, puis en déduire une écriture simplifiée du nombre AA.
2 pts
2)Soit l'expression B=10−3×0,0004×(102)32×10−5B = \frac{10^{-3} \times 0{,}0004 \times (10^2)^3}{2 \times 10^{-5}}. Simplifier BB puis donner son écriture scientifique.
2 pts
3)Soient x=5−12x = \frac{\sqrt{5}-1}{2} et y=5+12y = \frac{\sqrt{5}+1}{2}. Déterminer la valeur exacte de x×yx \times y, puis préciser le plus petit ensemble de nombres auquel appartient le produit x×yx \times y.
2 pts
Exercice 2(8 points)
L'ordre dans ℝ
Cet exercice vise à évaluer la maîtrise des encadrements, des propriétés des inégalités et de la valeur absolue.
1.a)Soient xx et yy deux réels tels que 1≤x≤31 \le x \le 3 et −2≤y≤−1-2 \le y \le -1. Donner un encadrement des expressions suivantes : x+yx + y, x−yx - y, x×yx \times y et xy\frac{x}{y}.
3 pts
1.b)En déduire un encadrement de l'expression C=2x−3y+1C = 2x - 3y + 1.
1.5 pts
2)Résoudre dans R\mathbb{R} : a) L'équation ∣2x−1∣=5|2x - 1| = 5. b) L'inéquation ∣x−3∣≤2|x - 3| \le 2.
2.5 pts
3)Comparer les deux nombres réels a=5−2a = \sqrt{5} - 2 et b=6−5b = \sqrt{6} - \sqrt{5} en comparant leurs carrés ou par étude du signe de leur différence.
1 pt
Exercice 3(6 points)
La droite dans le plan
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne les points A(1,2)A(1, 2), B(−1,4)B(-1, 4) et C(3,0)C(3, 0).
1.a)Déterminer les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
1 pt
1.b)Les points AA, BB et CC sont-ils alignés ? Justifier à l'aide de la condition de colinéarité.
1 pt
2)Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB)(AB).
1.5 pts
3)Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D)(D) passant par le point C(3,0)C(3, 0) et parallèle à la droite (AB)(AB).
1.5 pts
4)Étudier la position relative de la droite (AB)(AB) et de la droite (Δ)(\Delta) d'équation x+y−1=0x + y - 1 = 0.
1 pt
Fin du sujet