Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir surveillé 1

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(12 points)
Ensemble ℕ et arithmétique
Les questions de cet exercice sont indépendantes et visent à tester les compétences arithmétiques dans l'ensemble N\mathbb{N}.
1)Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Étudier la parité des nombres suivants : A=4n2+4n+7A = 4n^2 + 4n + 7 et B=n2+3n+2B = n^2 + 3n + 2.
2 pts
2)Décomposer les entiers 540540 et 15001500 en produit de facteurs premiers.
2 pts
3)En déduire PGCD(540,1500)PGCD(540, 1500) et PPCM(540,1500)PPCM(540, 1500), puis simplifier la fraction 5401500\frac{540}{1500} et le nombre 540×1500\sqrt{540 \times 1500}.
3 pts
4)Déterminer tous les entiers naturels nn tels que (n+3)(n+3) divise (n+11)(n+11).
2.5 pts
5)Montrer que pour tout entier naturel nn, le nombre N=n(n+1)(n+2)N = n(n+1)(n+2) est un multiple de 66.
2.5 pts
Exercice 2(5 points)
Calcul vectoriel
Soit ABCABC un triangle non aplati du plan.
1)Construire sur votre copie les points EE et FF définis par les relations vectorielles : AE→=32AB→\overrightarrow{AE} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} et AF→=3AC→\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AC}.
1.5 pts
2)Exprimer les vecteurs CE→\overrightarrow{CE} et BF→\overrightarrow{BF} en fonction des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
1.5 pts
3)Démontrer que BF→=2CE→\overrightarrow{BF} = 2\overrightarrow{CE} et en déduire que les droites (CE)(CE) et (BF)(BF) sont parallèles.
2 pts
Exercice 3(3 points)
Projection
Soit ABCABC un triangle. Soit EE un point du segment [AB][AB] tel que AE→=13AB→\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}. La droite parallèle à (BC)(BC) passant par EE coupe le segment [AC][AC] en FF. On considère la projection pp sur la droite (AC)(AC) parallèlement à la droite (BC)(BC).
1)Déterminer les images des points AA et EE par la projection pp.
1 pt
2)En utilisant la propriété de conservation du coefficient de colinéarité de deux vecteurs par la projection pp, montrer que AF→=13AC→\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.
2 pts
Fin du sujet