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* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(6 points)

Ensemble ℕ et arithmétique

Soient

a = 120

b = 300

deux entiers naturels, et

n

un entier naturel quelconque.

1)Étudier la parité du nombre

n^2 + 3n + 2

pour tout

n \in \mathbb{N}

1.5 pts

2)Décomposer les entiers

a = 120

b = 300

en produit de facteurs premiers.

1.5 pts

3)Déterminer

\text{PGCD}(a, b)

\text{PPCM}(a, b)

1.5 pts

4)Montrer que

\sqrt{a \times b}

est un entier naturel et donner sa valeur exacte.

1.5 pts

Exercice 2(6 points)

Ensemble ℕ et arithmétique

Soient

n

x

y

des entiers naturels.

1.a)Développer et simplifier l'expression

A = (n + 2)^2 - n^2

1.5 pts

1.b)En déduire que

A

est un multiple de

4

pour tout entier naturel

n

1.5 pts

2)Déterminer tous les couples d'entiers naturels

(x, y)

vérifiant l'égalité :

(x + 1)(y + 3) = 12

3 pts

Exercice 3(5 points)

Calcul vectoriel

Soit

ABC

un triangle. On considère les points

E

F

définis par :

\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}

\overrightarrow{BF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}

1)Construire une figure représentative en plaçant les points

E

F

1 pt

2)Exprimer le vecteur

\overrightarrow{AF}

en fonction de

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

1.5 pts

3)Montrer que

\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AF}

, puis en déduire que les points

A

E

F

sont alignés.

2.5 pts

Exercice 4(3 points)

Projection

Soit

ABC

un triangle, et soit

I

le milieu du segment

[BC]

. On considère

p

la projection sur la droite

(AC)

parallèlement à la droite

(AB)

1)Déterminer les images

p(A)

p(C)

des points

A

C

par la projection

p

1 pt

2)Soit

I'

le projeté du point

I

par la projection

p

. Montrer que

I'

est le milieu du segment

[AC]

2 pts