Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir à la maison 3

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(5 points)
Les polynômes
On considère le polynôme P(x)=2x3−3x2−3x+2P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2.
1)Montrer que 22 est une racine du polynôme P(x)P(x).
1 pt
2)Effectuer la division euclidienne de P(x)P(x) par x−2x - 2 pour déterminer le polynôme Q(x)Q(x) tel que P(x)=(x−2)Q(x)P(x) = (x - 2)Q(x).
2 pts
3)Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation Q(x)=0Q(x) = 0, puis donner la factorisation complète de P(x)P(x) en produit de facteurs du premier degré.
2 pts
Exercice 2(7 points)
Les équations, les inéquations et les systèmes
Cet exercice traite de la résolution d'équations, d'inéquations du second degré et de la résolution d'un système linéaire à deux inconnues.
1)Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation du second degré : 2x2−5x+2=02x^2 - 5x + 2 = 0.
2 pts
2)Dresser le tableau de signes du trinôme T(x)=2x2−5x+2T(x) = 2x^2 - 5x + 2, puis en déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation 2x2−5x+2≤02x^2 - 5x + 2 \le 0.
2 pts
3)Résoudre dans R2\mathbb{R}^2 le système suivant en utilisant la méthode des déterminants (méthode de Cramer) : {3x+2y=122x−y=1\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x - y = 1 \end{cases}
3 pts
Exercice 3(6 points)
Calcul trigonométrique - Première partie
On étudie la mesure des angles, le cercle trigonométrique et les relations trigonométriques fondamentales.
1)Déterminer l'abscisse curviligne principale du point correspondant à l'abscisse curviligne x=17π4x = \frac{17\pi}{4} sur le cercle trigonométrique.
2 pts
2)Soit x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] tel que sin⁡(x)=35\sin(x) = \frac{3}{5}. Calculer la valeur exacte de cos⁡(x)\cos(x), puis déterminer celle de tan⁡(x)\tan(x).
2 pts
3)Simplifier l'expression suivante pour tout réels xx : A(x)=cos⁡(π−x)+sin⁡(π2−x)+cos⁡(2π+x)+sin⁡(π+x)A(x) = \cos(\pi - x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos(2\pi + x) + \sin(\pi + x)
2 pts
Exercice 4(2 points)
Statistique
On considère la série statistique représentant les notes obtenues par un groupe de 10 élèves lors d'une évaluation : 88, 1010, 1010, 1212, 1212, 1212, 1414, 1515, 1515, 1818.
1)Déterminer le mode et calculer la moyenne arithmétique xˉ\bar{x} de cette série statistique.
1 pt
2)Déterminer la médiane de cette série statistique et donner une interprétation du résultat obtenu.
1 pt
Fin du sujet