Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir à la maison 3

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(5 points)
Polynômes
On considère le polynôme P(x)=2x3−3x2−3x+2P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2.
1)Vérifier que 22 est une racine du polynôme P(x)P(x).
1 pt
2)Effectuer la division euclidienne de P(x)P(x) par x−2x - 2, puis déterminer le polynôme Q(x)Q(x) tel que P(x)=(x−2)Q(x)P(x) = (x - 2)Q(x).
2 pts
3)Résoudre Q(x)=0Q(x) = 0 puis en déduire une factorisation complète de P(x)P(x) en produit de facteurs du premier degré.
2 pts
Exercice 2(7 points)
Équations, inéquations et Systèmes
Cet exercice comporte deux parties indépendantes sur la résolution d'équations, d'inéquations et de systèmes.
1)Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation du second degré : 2x2−5x+2=02x^2 - 5x + 2 = 0.
2 pts
2)Dresser le tableau de signes du trinôme 2x2−5x+22x^2 - 5x + 2, puis résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation : 2x2−5x+2≤02x^2 - 5x + 2 \le 0.
2 pts
3)Résoudre dans R2\mathbb{R}^2 le système suivant par la méthode des déterminants (Cramer) ou par combinaison linéaire : {3x+2y=125x−y=7\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - y = 7 \end{cases}
3 pts
Exercice 3(6 points)
Calcul trigonométrique 1
Exercice portant sur les notions fondamentales du calcul trigonométrique et les identités remarquables dans le cercle trigonométrique.
1)Déterminer l'abscisse curviligne principale du point d'abscisse curviligne x=13π3x = \frac{13\pi}{3}.
2 pts
2)Soit x∈]0,π2[x \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ tel que sin⁡(x)=35\sin(x) = \frac{3}{5}. Calculer la valeur exacte de cos⁡(x)\cos(x) puis celle de tan⁡(x)\tan(x).
2 pts
3)Simplifier l'expression suivante pour tout réels xx : A(x)=cos⁡(π−x)+sin⁡(π2−x)+cos⁡(2π+x)−sin⁡(π+x)A(x) = \cos(\pi - x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos(2\pi + x) - \sin(\pi + x)
2 pts
Exercice 4(2 points)
Statistiques
On donne le tableau statistique des notes obtenues par un groupe d'élèves : Notes xi∈{8,10,12,15}x_i \in \{8, 10, 12, 15\} avec pour effectifs respectifs ni∈{2,5,8,5}n_i \in \{2, 5, 8, 5\}.
1)Calculer la moyenne arithmétique xˉ\bar{x} de cette série statistique.
1 pt
2)Déterminer la médiane MM de cette série statistique.
1 pt
Fin du sujet