Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir à la maison 2

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(6 points)
Ensembles de nombres N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R}
Cet exercice évalue les capacités de simplification, de factorisation et d'identification du plus petit ensemble de nombres auquel appartient un réel donné.
1)Soient A=7−43A = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} et B=7+43B = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}. a) Calculer le produit A×BA \times B. b) Calculer (A+B)2(A + B)^2, puis en déduire une écriture simplifiée du nombre A+BA + B.
2 pts
2)Déterminer le plus petit ensemble de nombres (parmi N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R}) auquel appartient chacun des nombres suivants : x=12111,y=38,z=2−12+1x = \frac{121}{11}, \quad y = \frac{3}{8}, \quad z = \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2} + 1}
2 pts
3)En utilisant les identités remarquables adaptées, factoriser l'expression algébrique suivante : E(x)=x3−8+(x−2)(2x+5)E(x) = x^3 - 8 + (x - 2)(2x + 5)
2 pts
Exercice 2(8 points)
L'ordre dans R\mathbb{R}
Cet exercice porte sur la comparaison de réels, les encadrements, la valeur absolue et la résolution de relations liées à l'ordre.
1)a) Comparer les deux nombres réels 353\sqrt{5} et 434\sqrt{3}. b) En déduire une comparaison entre 135+1\frac{1}{3\sqrt{5} + 1} et 143+1\frac{1}{4\sqrt{3} + 1}.
2 pts
2)Soient xx et yy deux nombres réels tels que 1≤x≤31 \le x \le 3 et −4≤y≤−2-4 \le y \le -2. Donner un encadrement des expressions suivantes : x−yx - y, x×yx \times y, et xx−y\frac{x}{x - y}.
3 pts
3)a) Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels xx vérifiant l'inégalité ∣x−3∣≤2|x - 3| \le 2. b) Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ∣2x−1∣=5|2x - 1| = 5.
3 pts
Exercice 3(6 points)
La droite dans le plan
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}). On considère les points A(1,2)A(1, 2) et B(−1,4)B(-1, 4), ainsi que le vecteur u⃗(3,−1)\vec{u}(3, -1).
1)a) Déterminer les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB}. b) Soit C(4,y)C(4, y) un point du plan. Déterminer la valeur du réel yy pour que les points AA, BB et CC soient alignés.
2 pts
2)Soit (D)(D) la droite passant par le point AA et admets u⃗(3,−1)\vec{u}(3, -1) comme vecteur directeur. a) Donner une représentation paramétrique de la droite (D)(D). b) Déterminer une équation cartésienne de la droite (D)(D).
2 pts
3)On considère la droite (Δ)(\Delta) d'équation cartésienne 2x+6y−5=02x + 6y - 5 = 0. Étudier la position relative des droites (D)(D) et (Δ)(\Delta) (déterminer si elles sont parallèles ou sécantes, et préciser leur point d'intersection si elles sont sécantes).
2 pts
Fin du sujet