Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir à la maison 2

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(6 points)
Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ et ℝ et calcul numérique dan ℝ
Cet exercice vise à évaluer la maîtrise des calculs dans les ensembles de nombres, les simplifications d'expressions algébriques et l'utilisation des identités remarquables.
1)Déterminer le plus petit ensemble de nombres (Nℕ, Zℤ, DD, Qℚ ou Rℝ) auquel appartient chacun des nombres suivants : A=363A = \frac{\sqrt{36}}{3}, B=134B = \frac{13}{4} et C=3−22C = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}.
1.5 pts
2)Soient aa et bb deux nombres réels non nuls. Simplifier l'expression suivante : E=(a2b)−3×a5(a−1b2)2E = \frac{(a^2 b)^{-3} \times a^5}{(a^{-1} b^2)^2}
1.5 pts
3)Soit x∈Rx \in ℝ. Factoriser l'expression algébrique suivante : F(x)=x3−8+(x−2)(2x+1)F(x) = x^3 - 8 + (x - 2)(2x + 1).
1.5 pts
4)Montrer que pour tout entier naturel n∈Nn \in ℕ, le nombre N=4n+4n+1+4n+2N = 4^n + 4^{n+1} + 4^{n+2} est divisible par 2121.
1.5 pts
Exercice 2(8 points)
L'ordre dans ℝ
Cet exercice porte sur la comparaison de nombres réels, les techniques d'encadrement, les propriétés de la valeur absolue et les approximations décimales.
1)a) Comparer les deux nombres réels a=35a = 3\sqrt{5} et b=43b = 4\sqrt{3}. b) En déduire une comparaison des nombres X=135+1X = \frac{1}{3\sqrt{5} + 1} et Y=143+1Y = \frac{1}{4\sqrt{3} + 1}.
2 pts
2)Soient xx et yy deux réels tels que 2≤x≤52 \le x \le 5 et −3≤y≤−1-3 \le y \le -1. Encadrer les expressions : x−yx - y, x×yx \times y et x2+y2x^2 + y^2.
3 pts
3)a) Résoudre dans Rℝ l'équation : ∣2x−3∣=5|2x - 3| = 5. b) Résoudre dans Rℝ l'inéquation : ∣x+1∣≤3|x + 1| \le 3.
2 pts
4)À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de 7\sqrt{7} par défaut puis par excès à 10−210^{-2} près.
1 pt
Exercice 3(6 points)
La droite dans le plan
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}). On considère les points A(1,3)A(1, 3), B(−2,1)B(-2, 1) et le vecteur u⃗(2,−1)\vec{u}(2, -1).
1)Déterminer les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB}, puis calculer la distance ABAB.
1.5 pts
2)Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D)(D) passant par le point AA et de vecteur directeur u⃗\vec{u}.
1.5 pts
3)Déterminer l'équation cartésienne de la droite (Δ)(\Delta) passant par le point BB et parallèle à la droite (D)(D).
1.5 pts
4)Étudier la position relative de la droite (D)(D) et de la droite (D′)(D') d'équation cartésienne 3x+2y−1=03x + 2y - 1 = 0.
1.5 pts
Fin du sujet