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* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(12 points)

Ensemble des nombres entiers naturels

\mathbb{N}

et principes de calcul

Cet exercice vise à évaluer les compétences fondamentales en arithmétique dans

\mathbb{N}

: parité, décomposition en facteurs premiers, calcul du PGCD et PPCM, et divisibilité.

1)Soit

n \in \mathbb{N}

. Étudier la parité des deux nombres suivants : a)

A = 5^{n+1} + 5^n

B = n^2 + 3n + 2

2 pts

2)Décomposer les entiers naturels

a = 504

b = 540

en produit de facteurs premiers.

2 pts

3)En utilisant la décomposition en facteurs premiers de

a

b

: a) Déterminer

\text{PGCD}(a, b)

\text{PPCM}(a, b)

. b) Simplifier la fraction

\frac{a}{b}

et le nombre réel

\sqrt{a \times b}

3 pts

4)Déterminer tous les entiers naturels

n

tels que

(n + 2)

divise

(n + 12)

, c'est-à-dire tels que

\frac{n+12}{n+2} \in \mathbb{N}

2.5 pts

5)Soit

n \in \mathbb{N}

. Montrer que le produit

P = n(n + 1)(n + 2)

est divisible par

6

2.5 pts

Exercice 2(5 points)

Calcul vectoriel dans le plan

Soit

ABC

un triangle non aplati dans le plan.

1)Construire les points

E

F

définis par les relations vectorielles :

\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AC}

1.5 pts

2)Exprimer les vecteurs

\overrightarrow{CE}

\overrightarrow{BF}

en fonction des vecteurs

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

2 pts

3)Montrer que

\overrightarrow{BF} = 3\overrightarrow{CE}

. Que peut-on en déduire pour les droites

(CE)

(BF)

1.5 pts

Exercice 3(3 points)

Projection dans le plan

Soit

ABC

un triangle du plan. Soit

I

le milieu du segment

[BC]

. On considère la projection

p

sur la droite

(AB)

parallèlement à la droite

(AC)

1)Déterminer les images des points

A

B

C

par la projection

p

1.5 pts

2)Soit

J = p(I)

. Montrer que

J

est le milieu du segment

[AB]

1.5 pts