Matière : Mathématiques

Niveau : TCSF

Devoir à la maison 1

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(12 points)
Ensemble ℕ et arithmétique
Les questions de cet exercice portent sur la parité, les propriétés des nombres entiers naturels, la décomposition en facteurs premiers ainsi que le calcul du PGCD et du PPCM.
1)Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Étudier la parité des nombres suivants : A=n2+n+7A = n^2 + n + 7 et B=(2n+3)2−1B = (2n + 3)^2 - 1.
3 pts
2)Décomposer en produit de facteurs premiers les entiers A=2520A = 2520 et B=3780B = 3780.
2.5 pts
3)Déterminer PGCD(A,B)PGCD(A, B) et PPCM(A,B)PPCM(A, B).
2.5 pts
4)Simplifier les expressions A×B\sqrt{A \times B} et AB\frac{A}{B}.
2 pts
5)Déterminer tous les entiers naturels nn tels que (n+3)(n + 3) divise (n+15)(n + 15).
2 pts
Exercice 2(5 points)
Calcul vectoriel
Soit ABCABC un triangle non aplati du plan. On considère les points MM et NN définis par : AM→=32AB→etAN→=3AC→−AB→\overrightarrow{AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AN} = 3\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}
1)Construire une figure claire et exprimer BM→\overrightarrow{BM} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}.
1.5 pts
2)Exprimer le vecteur MN→\overrightarrow{MN} en fonction des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
1.5 pts
3)Soit PP le point tel que AP→=34AC→\overrightarrow{AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}. Montrer que les points MM, NN et PP sont alignés.
2 pts
Exercice 3(3 points)
Projection
Soit ABCABC un triangle du plan et DD le milieu du segment [BC][BC]. On considère la projection pp sur la droite (AC)(AC) parallèlement à la droite (AB)(AB).
1)Déterminer les images des points AA et CC par la projection pp.
1 pt
2)Soit E=p(D)E = p(D) l'image de DD par la projection pp. En utilisant la conservation du coefficient de colinéarité (ou le théorème de Thalès), montrer que EE est le milieu du segment [AC][AC].
2 pts
Fin du sujet