Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir surveillé 3

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(4 points)
Géométrie dans l'espace
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère les points A(1,0,2)A(1, 0, 2), B(2,1,1)B(2, 1, 1) et C(0,3,0)C(0, 3, 0), ainsi que la sphère (S)(S) d'équation cartésienne : x2+y2+z2−2x−4y+2z−3=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0
1.a)Montrer que AB⃗∧AC⃗=i⃗+j⃗+k⃗\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}.
0.75 pt
1.b)En déduire que les points AA, BB et CC ne sont pas alignés, puis calculer l'aire du triangle ABCABC.
0.75 pt
2)Montrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC)(ABC) est : x+y+z−3=0x + y + z - 3 = 0.
0.5 pt
3.a)Montrer que le centre de la sphère (S)(S) est le point Ω(1,2,−1)\Omega(1, 2, -1) et que son rayon est R=3R = 3.
0.75 pt
3.b)Calculer la distance d(Ω,(ABC))d(\Omega, (ABC)), puis montrer que le plan (ABC)(ABC) coupe la sphère (S)(S) suivant un cercle (C)(C) dont on déterminera le rayon rr.
1.25 pts
Exercice 2(8 points)
Calcul des probabilités - Probabilités conditionnelles et dénombrement
Une unité industrielle d'équipements électriques fabrique des relais électroniques. La production est assurée par deux machines AA et BB. - La machine AA assure 60%60\% de la production totale. - La machine BB assure 40%40\% de la production totale. Un contrôle de qualité montre que : - 2%2\% des relais produits par la machine AA présentent un défaut. - 5%5\% des relais produits par la machine BB présentent un défaut. On choisit au hasard un relais dans la production globale. On considère les événements suivants : - AA : « Le relais provient de la machine AA » - BB : « Le relais provient de la machine BB » - DD : « Le relais est défectueux »
1)Traduire les données de l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré de choix.
1.5 pts
2)Calculer les probabilités P(A∩D)P(A \cap D) et P(B∩D)P(B \cap D).
1.5 pts
3)Montrer que la probabilité qu'un relais pris au hasard soit défectueux est P(D)=0,032P(D) = 0{,}032.
1.5 pts
4)Le relais choisi est constaté défectueux. Calculer la probabilité qu'il ait été produit par la machine AA. (Arrondir le résultat à 10−310^{-3} près).
1.5 pts
5.a)On prélève simultanément et au hasard 3 relais dans un lot contenant 10 relais, dont exactement 3 sont défectueux. Calculer la probabilité d'obtenir exactement un relais défectueux.
1 pt
5.b)Calculer la probabilité d'obtenir au moins un relais défectueux parmi les 3 relais prélevés.
1 pt
Exercice 3(8 points)
Calcul des probabilités - Variable aléatoire et Loi binomiale
Un test de conformité est effectué sur des cartes électroniques issues d'une chaîne de montage. On admet que la probabilité qu'une carte soit conforme est p=0,8p = 0{,}8. **Partie A :** Un technicien sélectionne au hasard et de manière indépendante un échantillon de 5 cartes électroniques pour vérification. Soit XX la variable aléatoire représentant le nombre de cartes conformes parmi les 5 cartes sélectionnées.
1)Justifier que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres nn et pp.
1.5 pts
2)Calculer la probabilité P(X=5)P(X = 5) que les 5 cartes soient toutes conformes.
1.5 pts
3)Calculer P(X=4)P(X = 4), la probabilité qu'exactement 4 cartes soient conformes.
1.5 pts
4)Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X) et l'écart-type σ(X)\sigma(X) de la variable aléatoire XX, puis interpréter le résultat de E(X)E(X).
2 pts
5)**Partie B :** On souhaite déterminer le nombre minimal nn de cartes à tester de manière indépendante pour que la probabilité d'obtenir au moins une carte conforme soit supérieure ou égale à 0,9990{,}999. Déterminer la valeur minimale de l'entier nn.
1.5 pts
Fin du sujet