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* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(4 points)

Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct

(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})

, on considère les points

A(1, 2, 0)

B(2, 0, 1)

C(0, 1, 2)

1)Déterminer les coordonnées du vecteur

\vec{AB} \wedge \vec{AC}

et montrer que les points

A

B

C

ne sont pas alignés.

1.5 pts

2)En déduire qu'une équation cartésienne du plan

(ABC)

est :

x + y + z - 3 = 0

1 pt

3)On considère le point

D(1, 1, 4)

. Calculer la distance du point

D

au plan

(ABC)

, puis donner une équation cartésienne de la sphère

(S)

de centre

D

et tangente au plan

(ABC)

1.5 pts

Exercice 2(8 points)

Calcul des probabilités - Probabilités conditionnelles

Une urne contient

10

boules indiscernables au toucher :

4

boules rouges et

6

boules vertes. **Partie A :** On tire simultanément

3

boules de l'urne. **Partie B :** On tire successivement et sans remise

2

boules de l'urne.

1.a)[Partie A] Calculer la probabilité de l'événement

A

: « Obtenir exactement deux boules de couleur rouge ».

2 pts

1.b)[Partie A] Calculer la probabilité de l'événement

B

: « Obtenir au moins une boule verte ».

2 pts

2.a)[Partie B] Calculer la probabilité de l'événement

C

: « La première boule tirée est rouge et la deuxième est verte ».

2 pts

2.b)[Partie B] Sachant que la première boule tirée est rouge, quelle est la probabilité que la deuxième soit verte ?

2 pts

Exercice 3(8 points)

Calcul des probabilités - Variables aléatoires et loi binomiale

Un joueur participe à un jeu de tir sur cible. À chaque lancer, la probabilité d'atteindre le centre de la cible est égale à

p = \frac{1}{3}

. On suppose que les lancers sont indépendants. Le joueur effectue

4

lancers successifs. On désigne par

X

la variable aléatoire égale au nombre de fois où le joueur atteint le centre de la cible.

1)Justifier que la variable aléatoire

X

suit une loi binomiale et préciser ses paramètres

n

p

1.5 pts

2)Déterminer l'ensemble des valeurs possibles prises par la variable aléatoire

X

1 pt

3)Calculer la probabilité d'atteindre le centre de la cible exactement

2

fois.

2 pts

4)Calculer la probabilité d'atteindre le centre de la cible au moins une fois.

1.5 pts

5)Calculer l'espérance mathématique

E(X)

ainsi que l'écart-type

\sigma(X)

de la variable aléatoire

X

2 pts