Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir surveillé 2

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(6 points)
Calcul intégral
Le but de cet exercice est de calculer des intégrales et d'appliquer le calcul intégral à la détermination de l'aire d'un domaine plan.
1.a)Vérifier que pour tout x∈[0,1]x \in [0, 1], xx+1=1−1x+1\frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}.
0.5 pt
1.b)En déduire la valeur de l'intégrale I=∫01xx+1dxI = \int_{0}^{1} \frac{x}{x+1} dx.
1 pt
2)À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale J=∫01(x+1)exdxJ = \int_{0}^{1} (x + 1) e^x dx.
2 pts
3.a)Soit ff la fonction définie sur [0,1][0, 1] par f(x)=(x+1)exf(x) = (x + 1)e^x. Montrer que la fonction FF définie par F(x)=xexF(x) = x e^x est une primitive de x↦xex+exx \mapsto x e^x + e^x sur [0,1][0, 1].
1 pt
3.b)On note Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de ff dans un repère orthogonal (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}) tel que ∥i⃗∥=2 cm\|\vec{i}\| = 2\text{ cm} et ∥j⃗∥=2 cm\|\vec{j}\| = 2\text{ cm}. Calculer l'aire A\mathcal{A}, en cm2\text{cm}^2, du domaine plan limité par la courbe Cf\mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x = 0 et x=1x = 1.
1.5 pts
Exercice 2(7 points)
Géométrie dans l'espace - Produit scalaire et sphère
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère les points A(1,0,2)A(1, 0, 2), B(2,1,0)B(2, 1, 0) et C(0,1,1)C(0, 1, 1), ainsi que la sphère (S)(S) d'équation cartésienne : x2+y2+z2−2x−4y+2z−3=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0
1)Montrer que le centre de la sphère (S)(S) est le point Ω(1,2,−1)\Omega(1, 2, -1) et que son rayon est R=3R = 3.
1.5 pts
2.a)Calculer la distance ΩA\Omega A.
0.75 pt
2.b)En déduire la position du point AA par rapport à la sphère (S)(S).
0.75 pt
3.a)Soit (P)(P) le plan passant par le point AA et admettant u⃗(1,2,−2)\vec{u}(1, 2, -2) comme vecteur normal. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (P)(P) est : x+2y−2z+3=0x + 2y - 2z + 3 = 0
1.5 pts
3.b)Calculer d(Ω,(P))d(\Omega, (P)), la distance du point Ω\Omega au plan (P)(P).
1.25 pts
3.c)En déduire que le plan (P)(P) est tangent à la sphère (S)(S) au point AA.
1.25 pts
Exercice 3(7 points)
Géométrie dans l'espace - Produit vectoriel et positions relatives
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère les points A(2,1,1)A(2, 1, 1), B(0,3,2)B(0, 3, 2) et C(1,0,3)C(1, 0, 3).
1.a)Déterminer les coordonnées des vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}.
0.75 pt
1.b)Calculer le produit vectoriel AB⃗∧AC⃗\vec{AB} \wedge \vec{AC} et montrer que AB⃗∧AC⃗=3i⃗+5j⃗+4k⃗\vec{AB} \wedge \vec{AC} = 3\vec{i} + 5\vec{j} + 4\vec{k}.
1.25 pts
1.c)En déduire l'aire du triangle ABCABC.
1 pt
2)Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC)(ABC) est : 3x+5y+4z−15=03x + 5y + 4z - 15 = 0
1.5 pts
3.a)Soit (D)(D) la droite passant par le point D(1,1,0)D(1, 1, 0) et de vecteur directeur v⃗(3,5,4)\vec{v}(3, 5, 4). Donner une représentation paramétrique de la droite (D)(D).
1 pt
3.b)Déterminer les coordonnées du point HH, projeté orthogonal du point DD sur le plan (ABC)(ABC) (qui correspond à l'intersection de la droite (D)(D) et du plan (ABC)(ABC)).
1.5 pts
Fin du sujet