Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir surveillé 2

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(6 points)
Calcul intégral et aires
Dans cet exercice, on étudie les techniques de calcul intégral (primitives, intégration par parties) et leur application géométrique au calcul d'aires.
1)Montrer que la fonction g:x↦(x−2)exg: x \mapsto (x-2)e^x est une primitive de la fonction f:x↦(x−1)exf: x \mapsto (x-1)e^x sur l'intervalle [0,1][0, 1].
1.5 pts
2)En déduire la valeur de l'intégrale suivante : I=∫01(x−1)exdxI = \int_{0}^{1} (x-1)e^x dx
1.5 pts
3)En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : J=∫01x2exdxJ = \int_{0}^{1} x^2 e^x dx
1.5 pts
4)Calculer l'aire, en cm2\text{cm}^2, du domaine plan délimité par la courbe de la fonction f(x)=(x−1)exf(x) = (x-1)e^x, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=0x = 0 et x=1x = 1. (On donne l'unité de mesure sur les axes : 2 cm2\text{ cm})
1.5 pts
Exercice 2(8 points)
Géométrie analytique dans l'espace - Produit scalaire et Sphère
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on donne les points A(1,2,−1)A(1, 2, -1) et le plan (P)(P) d'équation cartésienne : x+y+z−2=0x + y + z - 2 = 0. On considère également la sphère (S)(S) d'équation cartésienne : x2+y2+z2−2x−4y+2z−3=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0.
1)Déterminer le centre Ω\Omega et le rayon RR de la sphère (S)(S).
2 pts
2.a)Vérifier que le vecteur n⃗(1,1,1)\vec{n}(1, 1, 1) est un vecteur normal au plan (P)(P) et montrer que (P)(P) est le plan passant par AA de vecteur normal n⃗\vec{n}.
1.5 pts
2.b)Calculer la distance d(Ω,(P))d(\Omega, (P)) du centre Ω\Omega au plan (P)(P).
1.5 pts
3)Montrer que le plan (P)(P) coupe la sphère (S)(S) selon un cercle (C)(C) dont on précisera le rayon rr et le centre HH.
3 pts
Exercice 3(6 points)
Géométrie dans l'espace - Produit vectoriel et applications
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère les points A(1,1,0)A(1, 1, 0), B(0,2,1)B(0, 2, 1) et C(2,0,1)C(2, 0, 1).
1)Calculer les coordonnées du produit vectoriel AB⃗∧AC⃗\vec{AB} \wedge \vec{AC}.
1.5 pts
2)En déduire que les points AA, BB et CC ne sont pas alignés, puis calculer l'aire du triangle ABCABC.
2 pts
3)Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC)(ABC).
1.5 pts
4)Calculer la distance du point D(1,2,3)D(1, 2, 3) à la droite (AB)(AB).
1 pt
Fin du sujet