Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir surveillé 1

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(4 points)
Équations différentielles
Cet exercice évalue la capacité de l'élève à résoudre des équations différentielles du premier et du second ordre à coefficients constants et à déterminer une solution particulière sous des conditions initiales.
1)Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation différentielle (E):y′′−4y′+4y=0(E) : y'' - 4y' + 4y = 0.
1.5 pts
2)Déterminer la solution particulière ff de l'équation (E)(E) vérifiant les conditions initiales f(0)=1f(0) = 1 et f′(0)=3f'(0) = 3.
1.5 pts
3)Résoudre sur R\mathbb{R} l'équation différentielle (E′):y′+2y=6(E') : y' + 2y = 6.
1 pt
Exercice 2(2 points)
Calcul intégral
Cet exercice teste la maîtrise des techniques de calcul d'intégrales simples, en particulier l'intégration par parties.
1)À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale suivante : I=∫01(x+1)exdxI = \int_{0}^{1} (x + 1) e^x dx
2 pts
Exercice 3(14 points)
Fonctions logarithmiques et exponentielles
L'objectif de cet exercice est l'étude globale d'une fonction exponentielle, comprenant l'étude d'une fonction auxiliaire, la détermination des limites et branches infinies, l'étude des variations, le théorème des valeurs intermédiaires et le calcul d'une aire.
Partie I - 1)Soit gg la fonction numérique définie sur R\mathbb{R} par : g(x)=ex−x−1g(x) = e^x - x - 1. Calculer g′(x)g'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, puis étudier les variations de gg sur R\mathbb{R}.
1.5 pts
Partie I - 2)En déduire que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, g(x)≥0g(x) \ge 0, puis que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, ex−1≥xe^x - 1 \ge x.
1.5 pts
Partie II - 1.a)Soit ff la fonction numérique définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=(x−2)ex+xf(x) = (x - 2)e^x + x. Soit (Cf)(\mathcal{C}_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}) (unité : 1 cm1\text{ cm}). Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)x\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}, puis interpréter géométriquement les résultats obtenus.
1.5 pts
Partie II - 1.b)Calculer lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x) et montrer que la droite (Δ):y=x(\Delta) : y = x est une asymptote oblique à la courbe (Cf)(\mathcal{C}_f) au voisinage de −∞-\infty.
1.5 pts
Partie II - 2.a)Étudier la position relative de la courbe (Cf)(\mathcal{C}_f) par rapport à la droite (Δ)(\Delta).
1 pt
Partie II - 2.b)Montrer que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, la fonction dérivée f′f' est donnée par : f′(x)=(x−1)ex+1f'(x) = (x - 1)e^x + 1.
1 pt
Partie II - 2.c)Vérifier que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, f′(x)=g(x)+xexf'(x) = g(x) + x e^x. En déduire le signe de f′(x)f'(x) sur R\mathbb{R}, puis dresser le tableau de variations complet de ff.
2 pts
Partie II - 3)Démontrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha dans R\mathbb{R} et vérifier que 1,5<α<1,71{,}5 < \alpha < 1{,}7.
1.5 pts
Partie II - 4)Tracer la droite (Δ)(\Delta) et la courbe (Cf)(\mathcal{C}_f) dans le repère (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).
1.5 pts
Partie II - 5)Calculer, en cm2\text{cm}^2, l'aire du domaine plan délimité par la courbe (Cf)(\mathcal{C}_f), la droite (Δ)(\Delta) et les droites d'équations x=0x = 0 et x=1x = 1.
1 pt
Fin du sujet