Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir surveillé 1

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(14 points)
Fonctions logarithmiques et exponentielles
Ce problème étudie une fonction numérique faisant intervenir à la fois la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien. Il est composé de deux parties indépendantes mais liées.
Partie A - 1)Soit la fonction auxiliaire gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=ex−x−1g(x) = e^x - x - 1. Calculer les limites de gg en −∞-\infty et en +∞+\infty.
1.5 pts
Partie A - 2)Calculer la dérivée g′(x)g'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, dresser le tableau de variations de la fonction gg, puis en déduire le signe de g(x)g(x) sur R\mathbb{R}.
1.5 pts
Partie A - 3)Justifier que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, ex−x>0e^x - x > 0.
1 pt
Partie B - 1)On considère la fonction principale ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ln⁡(ex−x)f(x) = \ln(e^x - x) et soit (Cf)(C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}) (unité : 1.51.5 cm). Justifier que l'ensemble de définition de ff est Df=RD_f = \mathbb{R}, puis calculer la limite de ff en −∞-\infty.
1.5 pts
Partie B - 2)Montrer que pour tout x>0x > 0, f(x)=x+ln⁡(1−xe−x)f(x) = x + \ln(1 - xe^{-x}). En déduire que la droite (D)(D) d'équation y=xy = x est une asymptote oblique à la courbe (Cf)(C_f) au voisinage de +∞+\infty.
1.5 pts
Partie B - 3)Montrer que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, f′(x)=ex−1ex−xf'(x) = \frac{e^x - 1}{e^x - x}.
1.5 pts
Partie B - 4)Dresser le tableau de variations complet de la fonction ff.
1.5 pts
Partie B - 5)Déterminer l'équation de la tangente (T)(T) à la courbe (Cf)(C_f) au point d'abscisse x0=0x_0 = 0.
1 pt
Partie B - 6)Tracer avec soin la droite (D)(D), la tangente (T)(T) et la courbe (Cf)(C_f) dans le repère (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).
2 pts
Exercice 2(4 points)
Équations différentielles
Cet exercice vise à tester la capacité à résoudre des équations différentielles linéaires du premier et du second ordre.
1)Résoudre sur R\mathbb{R} l'équation différentielle (E1):y′′−3y′+2y=0(E_1) : y'' - 3y' + 2y = 0.
1.5 pts
2)Déterminer la solution particulière hh de l'équation (E1)(E_1) vérifiant les conditions initiales : h(0)=1h(0) = 1 et h′(0)=3h'(0) = 3.
1.5 pts
3)Résoudre sur R\mathbb{R} l'équation différentielle du premier ordre (E2):y′+2y=4(E_2) : y' + 2y = 4.
1 pt
Exercice 3(2 points)
Calcul intégral
Cette partie évalue la maîtrise des techniques d'intégration, notamment l'intégration par parties.
1)En utilisant une intégration par parties, calculer la valeur de l'intégrale suivante : I=∫1exln⁡(x)dxI = \int_{1}^{e} x \ln(x) dx
2 pts
Fin du sujet