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Exercice 1(4 points)

Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct

(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})

, on considère les points

A(1, 0, 1)

,

B(2, -1, 1)

et

C(0, 1, 3)

, ainsi que la sphère

(S)

d'équation cartésienne

x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 1 = 0

.

1.a)Montrer que

\vec{AB} \wedge \vec{AC} = -2\vec{i} - 2\vec{j} - 2\vec{k}

.

1 pt

1.b)En déduire que

x + y + z - 2 = 0

est une équation cartésienne du plan

(ABC)

.

1 pt

2.a)Déterminer le centre

\Omega

et le rayon

R

de la sphère

(S)

.

1 pt

2.b)Calculer la distance

d(\Omega, (ABC))

et en déduire que le plan

(ABC)

est tangent à la sphère

(S)

en un point à préciser.

1 pt

Exercice 2(8 points)

Calcul des probabilités - Dénombrement et probabilités conditionnelles

Dans un laboratoire de contrôle qualité d'une unité de fabrication mécanique, un lot d'engrenages métalliques est contrôlé. Un bac contient 10 engrenages identiques au toucher : 5 engrenages sont en acier et sans défaut, 3 engrenages sont en acier avec défaut, et 2 engrenages sont en aluminium et sans défaut.

1.a)On tire simultanément et au hasard 3 engrenages du bac. Montrer que le nombre de tirages possibles est égal à

120

.

1 pt

1.b)Calculer la probabilité de l'événement

A

: "Obtenir exactement 3 engrenages sans aucun défaut".

1.5 pts

1.c)Calculer la probabilité de l'événement

B

: "Obtenir au moins un engrenage avec défaut".

1.5 pts

2.a)Une deuxième phase du contrôle porte sur la provenance des engrenages. Une machine

M_1

fabrique

60\%

de la production globale et une machine

M_2

fabrique les

40\%

restants. Le taux de défectuosité est de

5\%

pour

M_1

et de

2\%

pour

M_2

. On choisit un engrenage au hasard dans la production globale. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

1 pt

2.b)Montrer que la probabilité qu'un engrenage prélevé soit défectueux est égale à

0{,}038

.

1.5 pts

2.c)Sachant que l'engrenage prélevé est défectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne de la machine

M_1

? (Arrondir le résultat à

10^{-3}

près).

1.5 pts

Exercice 3(8 points)

Calcul des probabilités - Variable aléatoire et loi binomiale

Dans une ligne d'assemblage automatisée, un sous-ensemble électronique comprend un jeu de 5 relais de puissance identiques. Dans ce composant, 2 relais sont défectueux et 3 sont fonctionnels. Un technicien prélevé successivement et sans remise 2 relais pour un diagnostic.

1)Soit

X

la variable aléatoire représentant le nombre de relais défectueux parmi les 2 relais prélevés. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par

X

.

1 pt

2)Démontrer que

P(X = 0) = \frac{3}{10}

,

P(X = 1) = \frac{3}{5}

et

P(X = 2) = \frac{1}{10}

, puis dresser le tableau de la loi de probabilité de

X

.

3 pts

3)Calculer l'espérance mathématique

E(X)

et interpréter le résultat dans le contexte industriel.

2 pts

4.a)On répète cette expérience de test

4

fois de suite de manière indépendante en remettant les relais à leur état initial après chaque test complet. Soit

Y

la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on obtient exactement un relais défectueux lors des

4

tests. Justifier que

Y

suit une loi binomiale et préciser ses paramètres

n

et

p

.

1 pt

4.b)Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux fois un relais défectueux au cours des

4

tests effectués.

1 pt