Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 3

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(4 points)
Géométrie dans l'espace
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère les points A(1,−1,2)A(1, -1, 2), B(2,3,0)B(2, 3, 0) et C(0,1,3)C(0, 1, 3).
1)Déterminer une équation cartésienne du plan (P)(P) passant par le point AA et admettant le vecteur n⃗(2,1,−1)\vec{n}(2, 1, -1) comme vecteur normal.
1.5 pts
2)Calculer la distance du point BB au plan (P)(P).
1 pt
3)En utilisant le produit vectoriel, calculer les coordonnées du vecteur AB⃗∧AC⃗\vec{AB} \wedge \vec{AC} puis en déduire l'aire du triangle ABCABC.
1.5 pts
Exercice 2(8 points)
Calcul des probabilités - Tirage d'urnes et variables aléatoires
Une urne contient 1010 boules indiscernables au toucher : 44 boules rouges, 33 boules vertes et 33 boules blanches. On tire simultanément au hasard 33 boules de l'urne.
1)Déterminer le nombre total de tirages possibles (le cardinal de l'univers Ω\Omega).
1 pt
2)Calculer la probabilité de l'événement AA : "Obtenir exactement deux boules rouges".
1.5 pts
3)Calculer la probabilité de l'événement BB : "Obtenir trois boules de couleurs différentes".
1.5 pts
4.a)Soit XX la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de boules rouges obtenues. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par XX.
1 pt
4.b)Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire XX (présenter les résultats sous forme de tableau).
2 pts
4.c)Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X).
1 pt
Exercice 3(8 points)
Calcul des probabilités - Probabilités conditionnelles et Loi binomiale
Dans une usine de montage, deux machines M1M_1 et M2M_2 fabriquent des composants électroniques. La machine M1M_1 assure 60%60\% de la production et la machine M2M_2 en assure 40%40\%. Le contrôle qualité révèle que 2%2\% des composants produits par M1M_1 sont défectueux, tandis que 5%5\% de ceux produits par M2M_2 sont défectueux. On choisit au hasard un composant dans la production totale. On note les événements suivants : M1M_1 : "Le composant provient de la machine M1M_1", M2M_2 : "Le composant provient de la machine M2M_2" et DD : "Le composant est défectueux".
1)Modéliser cette situation à l'aide d'un arbre pondéré de probabilités.
1 pt
2)Montrer que la probabilité que le composant choisi soit défectueux est P(D)=0.032P(D) = 0.032.
2 pts
3)Sachant que le composant choisi est défectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne de la machine M1M_1 ? (Donner le résultat sous forme de fraction irréductible).
2 pts
4.a)On prélève successivement et avec remise 55 composants au hasard dans la production. Soit YY la variable aléatoire correspondant au nombre de composants défectueux parmi les 55. Justifier que YY suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
1 pt
4.b)Calculer la probabilité d'obtenir exactement un composant défectueux lors de ce prélèvement (on donnera une valeur approchée à 10−310^{-3} près).
2 pts
Fin du sujet