Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 2

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(6 points)
Calcul intégral
Cet exercice vise à évaluer les capacités de calcul d'intégrales par l'utilisation de primitives usuelles, la technique d'intégration par parties et le calcul de la valeur moyenne d'une fonction.
1)En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale I=∫01(x+1)exdxI = \int_{0}^{1} (x + 1) e^x dx.
2 pts
2.a)Montrer que la fonction G:x↦xln⁡(x)−xG : x \mapsto x \ln(x) - x est une primitive de la fonction g:x↦ln⁡(x)g : x \mapsto \ln(x) sur l'intervalle ]0,+∞[]0, +\infty[.
1 pt
2.b)En déduire la valeur de l'intégrale J=∫1eln⁡(x)dxJ = \int_{1}^{e} \ln(x) dx.
1 pt
3)Déterminer la valeur moyenne de la fonction f(x)=2xx2+1f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} sur l'intervalle [0,2][0, 2].
2 pts
Exercice 2(8 points)
Géométrie dans l'espace - Produit scalaire, Plan et Sphère
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère les points A(1,0,2)A(1, 0, 2), B(2,1,1)B(2, 1, 1) et C(0,3,0)C(0, 3, 0), ainsi que la sphère (S)(S) définie par l'équation : x2+y2+z2−2x−4y+2z−3=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0
1.a)Montrer que le centre de la sphère (S)(S) est le point Ω(1,2,−1)\Omega(1, 2, -1) et que son rayon est R=3R = 3.
2 pts
1.b)Calculer la distance AΩA\Omega puis vérifier que le point AA appartient à la sphère (S)(S).
1 pt
2.a)Calculer les coordonnées des vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}, puis calculer le produit scalaire AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC}.
1 pt
2.b)Montrer qu'une équation cartésienne du plan (P)(P) passant par AA et orthogonale à la droite (BC)(BC) est x−2y+z−3=0x - 2y + z - 3 = 0.
1.5 pts
3.a)Calculer la distance d(Ω,(P))d(\Omega, (P)) du centre Ω\Omega au plan (P)(P).
1.5 pts
3.b)En déduire que le plan (P)(P) coupe la sphère (S)(S) selon un cercle (C)(C) dont on précisera le rayon rr.
1 pt
Exercice 3(6 points)
Géométrie dans l'espace - Produit vectoriel et applications
Dans le repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère les points E(2,0,1)E(2, 0, 1), F(0,1,3)F(0, 1, 3) et G(1,2,0)G(1, 2, 0).
1.a)Déterminer les coordonnées du produit vectoriel EF⃗∧EG⃗\vec{EF} \wedge \vec{EG}.
1.5 pts
1.b)En déduire que les points EE, FF et GG ne sont pas alignés.
0.5 pt
1.c)Calculer l'aire du triangle EFGEFG.
1 pt
2)Montrer qu'une équation cartésienne du plan (EFG)(EFG) est x+3y+2z−4=0x + 3y + 2z - 4 = 0.
1.5 pts
3)Soit le point A(1,1,1)A(1, 1, 1). Calculer la distance du point AA à la droite (EF)(EF).
1.5 pts
Fin du sujet