Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 2

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(6 points)
Calcul intégral
Cet exercice permet d'évaluer la maîtrise des techniques de base du calcul intégral (recherche de primitives, intégration par parties) ainsi que son application géométrique pour le calcul d'aires.
1)Calculer l'intégrale suivante en reconnaissant une forme usuelle de primitive : I=∫01(x2+2x)ex3+3x2dxI = \int_{0}^{1} (x^2 + 2x) e^{x^3 + 3x^2} dx.
2 pts
2)En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale suivante : J=∫1exln⁡(x)dxJ = \int_{1}^{e} x \ln(x) dx.
2 pts
3)Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine plan délimité par la courbe de la fonction f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1x = 1 et x=ex = e.
2 pts
Exercice 2(8 points)
Géométrie dans l'espace (Partie 1)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère les points A(1,2,0)A(1, 2, 0), B(0,1,2)B(0, 1, 2) et C(2,0,1)C(2, 0, 1).
1)Calculer le produit vectoriel AB⃗∧AC⃗\vec{AB} \wedge \vec{AC} et montrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC)(ABC) est : x+y+z−3=0x + y + z - 3 = 0.
2 pts
2)Soit (S)(S) la sphère d'équation cartésienne : x2+y2+z2−2x−4y+2z−3=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0. Déterminer le centre Ω\Omega et le rayon RR de la sphère (S)(S).
2 pts
3)Calculer la distance du point Ω\Omega au plan (ABC)(ABC).
2 pts
4)Montrer que le plan (ABC)(ABC) coupe la sphère (S)(S) selon un cercle (C)(C) dont on déterminera le rayon rr.
2 pts
Exercice 3(6 points)
Géométrie dans l'espace (Partie 2)
On munit l'espace du même repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}). On considère le point D(3,3,3)D(3, 3, 3) et la droite (Δ)(\Delta) passant par le point A(1,2,0)A(1, 2, 0) et de vecteur directeur u⃗(1,−1,1)\vec{u}(1, -1, 1).
1)Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ)(\Delta).
2 pts
2)Calculer le produit vectoriel AD⃗∧u⃗\vec{AD} \wedge \vec{u}.
2 pts
3)En déduire la distance du point DD à la droite (Δ)(\Delta) en utilisant la formule : d(D,(Δ))=∥AD⃗∧u⃗∥∥u⃗∥d(D, (\Delta)) = \frac{\|\vec{AD} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}.
2 pts
Fin du sujet