Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 1

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(14 points)
Fonctions logarithmiques et étude de fonction
Le but de cet exercice est d'étudier une fonction numérique faisant intervenir le logarithme népérien et d'analyser ses variations et ses branches infinies.
I.1)Soit la fonction auxiliaire gg définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[ par g(x)=x2−1+2ln⁡(x)g(x) = x^2 - 1 + 2\ln(x). Calculer g′(x)g'(x) pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[ et déterminer les variations de gg (sans le calcul des limites).
1.5 pts
I.2)Calculer g(1)g(1), puis en déduire le signe de g(x)g(x) sur ]0,1]]0, 1] et sur [1,+∞[[1, +\infty[.
1.5 pts
II.1)Soit ff la fonction numérique définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[ par f(x)=x−1+1−2ln⁡(x)xf(x) = x - 1 + \frac{1 - 2\ln(x)}{x}. Calculer lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x) et donner une interprétation géométrique du résultat.
1.5 pts
II.2)Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x) et montrer que la droite (Δ)(\Delta) d'équation y=x−1y = x - 1 est une asymptote oblique à la courbe (Cf)(C_f) au voisinage de +∞+\infty.
2 pts
II.3)Étudier la position relative de la courbe (Cf)(C_f) par rapport à la droite (Δ)(\Delta) sur ]0,+∞[]0, +\infty[.
1.5 pts
II.4)Montrer que pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[, la fonction dérivée f′f' s'exprime par f′(x)=g(x)x2f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}.
2 pts
II.5)En utilisant les résultats de la partie I, dresser le tableau de variations complet de la fonction ff sur ]0,+∞[]0, +\infty[.
2 pts
II.6)Tracer la droite (Δ)(\Delta) et la courbe (Cf)(C_f) dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}) (Unité : 1 cm1\text{ cm}).
2 pts
Exercice 2(4 points)
Équations différentielles
Les équations différentielles sont utilisées pour modéliser des phénomènes d'évolution continue dans divers domaines techniques et scientifiques.
1)Résoudre l'équation différentielle (E1):y′+2y=6(E_1) : y' + 2y = 6.
1.5 pts
2)Résoudre l'équation différentielle (E2):y′′−4y′+4y=0(E_2) : y'' - 4y' + 4y = 0.
1.5 pts
3)Déterminer la solution particulière ff de l'équation (E2)(E_2) qui vérifie les conditions initiales f(0)=1f(0) = 1 et f′(0)=3f'(0) = 3.
1 pt
Exercice 3(2 points)
Calcul intégral
Cette partie vise à évaluer la maîtrise des techniques fondamentales du calcul d'intégrales.
1)En utilisant la technique d'intégration par parties, calculer l'intégrale suivante : I=∫1exln⁡(x) dxI = \int_1^e x \ln(x) \, dx
2 pts
Fin du sujet