Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 1

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(14 points)
Fonctions logarithmiques et exponentielles
Ce problème vise à étudier une fonction numérique faisant intervenir la fonction exponentielle, à analyser ses branches infinies, sa monotonie, et à prouver l'existence d'une solution unique à l'équation f(x)=0f(x) = 0 par le théorème des valeurs intermédiaires.
Partie A - 1)Soit la fonction auxiliaire gg définie sur R\mathbb{R} par : g(x)=1+(x−1)exg(x) = 1 + (x-1)e^x. Calculer les limites de gg en −∞-\infty et en +∞+\infty.
1 pt
Partie A - 2)Calculer la dérivée g′(x)g'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, puis dresser le tableau de variations de gg sur R\mathbb{R}.
1.5 pts
Partie A - 3)En déduire que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, g(x)≥0g(x) \ge 0.
1.5 pts
Partie B - 1)On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=x+1+(x−2)exf(x) = x + 1 + (x-2)e^x. Déterminer les limites de ff en −∞-\infty et en +∞+\infty.
2 pts
Partie B - 2.a)Montrer que la droite (D):y=x+1(\mathcal{D}): y = x + 1 est une asymptote oblique à la courbe (Cf)(\mathcal{C}_f) au voisinage de −∞-\infty.
1 pt
Partie B - 2.b)Étudier la position relative de la courbe (Cf)(\mathcal{C}_f) par rapport à la droite (D)(\mathcal{D}).
1 pt
Partie B - 3)Déterminer la nature de la branche infinie de (Cf)(\mathcal{C}_f) au voisinage de +∞+\infty.
1.5 pts
Partie B - 4)Montrer que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, f′(x)=g(x)f'(x) = g(x) puis dresser le tableau de variations complet de ff.
2.5 pts
Partie B - 5)Montrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha dans l'intervalle [1,2][1, 2].
2 pts
Exercice 2(4 points)
Équations différentielles
Cette partie permet d'évaluer l'aptitude à résoudre des équations différentielles linéaires du second degré à coefficients constants, et à déterminer une solution particulière sous conditions initiales.
1)Résoudre sur R\mathbb{R} l'équation différentielle (E):y′′−3y′+2y=0(E): y'' - 3y' + 2y = 0.
2 pts
2)Déterminer la solution particulière ff de l'équation (E)(E) vérifiant les conditions initiales : f(0)=1f(0) = 1 et f′(0)=3f'(0) = 3.
2 pts
Exercice 3(2 points)
Calcul intégral
L'exercice propose de calculer une intégrale simple en appliquant la méthode d'intégration par parties.
1)En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale suivante : I=∫1exln⁡(x) dxI = \int_{1}^{e} x \ln(x) \, dx et montrer que sa valeur exacte est e2+14\frac{e^2+1}{4}.
2 pts
Fin du sujet