Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir surveillé 3

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(12 points)
Nombres complexes
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O, \vec{u}, \vec{v}).
1)Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes C\mathbb{C} l'équation : z2−6z+13=0z^2 - 6z + 13 = 0
2 pts
2.a)On considère les points AA, BB et CC d'affixes respectives a=3+2ia = 3 + 2i, b=3−2ib = 3 - 2i et c=1+3ic = 1 + 3i. Calculer le rapport c−ab−a\frac{c - a}{b - a} sous forme algébrique, puis déterminer son module et un argument.
2.5 pts
2.b)En déduire la nature du triangle ABCABC.
1.5 pts
3.a)Soit RR la rotation de centre AA et d'angle π2\frac{\pi}{2}. Déterminer l'écriture complexe de la rotation RR.
1.5 pts
3.b)Montrer que l'affixe du point DD, image du point CC par la rotation RR, est d=2+0i=2d = 2 + 0i = 2.
1.5 pts
4)Montrer que le quadrilatère ACDBACDB est un carré.
3 pts
Exercice 2(8 points)
Fonctions logarithmiques
Étude d'une fonction numérique faisant intervenir la fonction logarithme népérien.
1.a)Calculer la limite : lim⁡x→0+(x−2+ln⁡x)\lim_{x \to 0^+} (x - 2 + \ln x).
1 pt
1.b)Calculer la limite : lim⁡x→+∞(x−2+ln⁡x)\lim_{x \to +\infty} (x - 2 + \ln x).
1 pt
2.a)Soit ff la fonction numérique définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[ par f(x)=x−2+ln⁡xf(x) = x - 2 + \ln x. Montrer que pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[, f′(x)=x+1xf'(x) = \frac{x + 1}{x}, puis dresser le tableau de variations complet de ff.
2 pts
2.b)Montrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha dans l'intervalle [1,e][1, e].
2 pts
3)Déterminer l'équation cartésienne de la tangente (T)(T) à la courbe de ff au point d'abscisse x0=1x_0 = 1.
2 pts
Fin du sujet