Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir surveillé 3

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(12 points)
Nombres complexes
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O, \vec{u}, \vec{v}).
1)Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes C\mathbb{C} l'équation : z2−6z+13=0z^2 - 6z + 13 = 0
2 pts
2.a)On considère les points AA, BB et CC d'affixes respectives a=3+2ia = 3 + 2i, b=3−2ib = 3 - 2i et c=7−2ic = 7 - 2i. Écrire le nombre complexe Z=c−ab−aZ = \frac{c - a}{b - a} sous sa forme algébrique.
1.5 pts
2.b)En déduire que le triangle ABCABC est rectangle en AA.
1.5 pts
3.a)Soit RR la rotation de centre AA et d'angle θ=−π2\theta = -\frac{\pi}{2}. Déterminer l'écriture complexe de la rotation RR.
2 pts
3.b)Déterminer l'affixe dd du point DD image du point CC par la rotation RR.
2 pts
4.a)Soit II le milieu du segment [BC][BC]. Déterminer l'affixe zIz_I du point II.
1 pt
4.b)Montrer que les points AA, BB, DD et CC appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
2 pts
Exercice 2(8 points)
Fonctions logarithmiques
Étude algébrique et analytique liée à la fonction logarithme népérien.
1)Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation suivante : ln⁡(x)+ln⁡(x−1)=ln⁡(2)\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)
2 pts
2.a)Soit ff la fonction définie sur I=]0,+∞[I = ]0, +\infty[ par : f(x)=x2−3+ln⁡(x)f(x) = x^2 - 3 + \ln(x). Calculer lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).
2 pts
2.b)Montrer que pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[, la fonction dérivée de ff s'écrit f′(x)=2x2+1xf'(x) = \frac{2x^2 + 1}{x}, puis dresser le tableau de variations complet de ff.
2 pts
2.c)Montrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur l'intervalle ]0,+∞[]0, +\infty[ et vérifier que 1<α<21 < \alpha < 2.
2 pts
Fin du sujet