Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir surveillé 2

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(3 points)
Fonctions primitives
Cet exercice évalue la capacité à déterminer des primitives de fonctions usuelles et à utiliser les formules de dérivation.
1)Déterminer la primitive FF de la fonction f(x)=3x2−2x+1+1xf(x) = 3x^2 - 2x + 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} sur l'intervalle ]0,+∞[]0, +\infty[ qui s'annule en x0=1x_0 = 1.
1.5 pts
2)Soit la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=2x(x2+1)2g(x) = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}. Déterminer la primitive GG de gg sur R\mathbb{R} vérifiant la condition initiale G(0)=2G(0) = 2.
1.5 pts
Exercice 2(9 points)
Suites numériques
On considère la suite numérique (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par u0=2u_0 = 2 et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par un+1=4un−2un+1u_{n+1} = \frac{4u_n - 2}{u_n + 1}
1)Montrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un>1u_n > 1.
1.5 pts
2.a)Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1−un=−(un−1)(un−2)un+1u_{n+1} - u_n = \frac{-(u_n - 1)(u_n - 2)}{u_n + 1}.
1 pt
2.b)Étudier la monotonie de la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} et en déduire qu'elle est convergente.
1.5 pts
3.a)Soit (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}} la suite définie par vn=un−2un−1v_n = \frac{u_n - 2}{u_n - 1} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=13q = \frac{1}{3} et préciser son premier terme v0v_0.
2 pts
3.b)Exprimer vnv_n en fonction de nn, puis en déduire que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un=2−(13)n1−(13)nu_n = \frac{2 - \left(\frac{1}{3}\right)^n}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n}.
2 pts
3.c)Déterminer la limite de la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}.
1 pt
Exercice 3(8 points)
Étude de fonctions
Soit ff la fonction numérique définie sur l'intervalle I=[0,+∞[I = [0, +\infty[ par f(x)=x+1−2xf(x) = x + 1 - 2\sqrt{x} et soit (Cf)(\mathcal{C}_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).
1)Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x), puis étudier la branche infinie de (Cf)(\mathcal{C}_f) au voisinage de +∞+\infty.
1.5 pts
2)Étudier la dérivabilité de ff à droite en 00 et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
1.5 pts
3.a)Montrer que pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[, f′(x)=x−1xf'(x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}.
1 pt
3.b)Dresser le tableau de variations complet de la fonction ff sur [0,+∞[[0, +\infty[.
1 pt
4)Soit gg la restriction de ff à l'intervalle K=[1,+∞[K = [1, +\infty[. Montrer que gg réalise une bijection de KK sur un intervalle JJ à déterminer.
1.5 pts
5)Déterminer l'expression de g−1(x)g^{-1}(x) pour tout x∈Jx \in J.
1.5 pts
Fin du sujet