Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir surveillé 2

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(3 points)
Fonctions primitives
Cet exercice évalue l'aptitude des élèves à identifier les primitives de fonctions usuelles et à déterminer une primitive spécifique respectant une condition initiale donnée.
1)Déterminer toutes les fonctions primitives de la fonction ff définie sur l'intervalle ]0,+∞[]0, +\infty[ par : f(x)=3x2−2x2+cos⁡(x)f(x) = 3x^2 - \frac{2}{x^2} + \cos(x).
1.5 pts
2)Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=x(x2+1)4g(x) = x(x^2 + 1)^4. Déterminer la fonction primitive GG de gg sur R\mathbb{R} qui vérifie la condition initiale G(0)=1G(0) = 1.
1.5 pts
Exercice 2(8 points)
Étude de fonctions - Continuité, dérivabilité et fonction réciproque
On considère la fonction numérique ff définie sur l'intervalle I=[1,+∞[I = [1, +\infty[ par : f(x)=x−xf(x) = x - \sqrt{x}.
1)Justifier la continuité de ff sur II, puis montrer que pour tout x∈]1,+∞[x \in ]1, +\infty[, f′(x)=2x−12xf'(x) = \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}}. En déduire le sens de variation de ff sur II.
2 pts
2)Montrer que ff réalise une bijection de l'intervalle II vers un intervalle JJ que l'on déterminera.
1.5 pts
3)Calculer f(4)f(4) et montrer que la fonction réciproque f−1f^{-1} de ff est dérivable en 22, puis calculer (f−1)′(2)(f^{-1})'(2).
1.5 pts
4)Montrer que pour tout x∈Jx \in J : f−1(x)=(1+1+4x2)2f^{-1}(x) = \left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4x}}{2}\right)^2.
1.5 pts
5)Montrer que l'équation f(x)=12f(x) = \frac{1}{2} admet une unique solution α\alpha dans l'intervalle ]1,4[]1, 4[.
1.5 pts
Exercice 3(9 points)
Suites numériques
On étudie le comportement asymptotique de la suite numérique (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par : u0=2u_0 = 2 et un+1=5un−3un+1u_{n+1} = \frac{5u_n - 3}{u_n + 1} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
1)Montrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} : 1<un<31 < u_n < 3.
2 pts
2)Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} : un+1−un=−(un−1)(un−3)un+1u_{n+1} - u_n = -\frac{(u_n - 1)(u_n - 3)}{u_n + 1}. En déduire que la suite (un)(u_n) est convergente.
2 pts
3)Soit la suite auxiliaire (vn)(v_n) définie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par : vn=un−3un−1v_n = \frac{u_n - 3}{u_n - 1}. Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=12q = \frac{1}{2}.
2 pts
4)Exprimer vnv_n en fonction de nn, puis en déduire que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} : un=3−(12)n+11−(12)n+1u_n = \frac{3 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}.
1.5 pts
5)Calculer la limite de la suite (un)(u_n) en justifiant soigneusement le résultat.
1.5 pts
Fin du sujet