Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir surveillé 1

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(10 points)
Continuité, Théorème des Valeurs Intermédiaires et Fonction Réciproque
On considère la fonction numérique ff définie sur l'intervalle I=[0,+∞[I = [0, +\infty[ par f(x)=x3+2x−1f(x) = x^3 + 2x - 1.
1)Justifier que la fonction ff est continue sur l'intervalle I=[0,+∞[I = [0, +\infty[.
1.5 pts
2)Montrer que ff est strictement croissante sur II, puis déterminer l'image du segment [0,2][0, 2] par la fonction ff.
2.5 pts
3.a)Montrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha dans l'intervalle ]0,1[]0, 1[.
2 pts
3.b)En utilisant la méthode de dichotomie, donner un encadrement du nombre réel α\alpha d'amplitude 0,250{,}25.
1.5 pts
4)Montrer que ff admet une fonction réciproque f−1f^{-1} définie sur un intervalle JJ à déterminer.
2.5 pts
Exercice 2(10 points)
Dérivabilité, Dérivée de la Fonction Réciproque et Puissances Rationnelles
Soit gg la fonction numérique définie sur D=[1,+∞[D = [1, +\infty[ par g(x)=(x−1)xg(x) = (x - 1)\sqrt{x}.
1)Étudier la dérivabilité de la fonction gg à droite en x0=1x_0 = 1 et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
2.5 pts
2)Montrer que pour tout x>1x > 1, g′(x)=3x−12xg'(x) = \dfrac{3x - 1}{2\sqrt{x}}, puis dresser le tableau de variations complet de gg sur [1,+∞[[1, +\infty[.
2.5 pts
3)Vérifier que gg réalise une bijection de [1,+∞[[1, +\infty[ sur [0,+∞[[0, +\infty[. Calculer g(4)g(4), puis déterminer le nombre dérivé (g−1)′(6)(g^{-1})'(6).
2.5 pts
4)On considère la fonction hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=(2x2+1)13h(x) = (2x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}. Justifier que hh est dérivable sur R\mathbb{R} et calculer sa dérivée h′(x)h'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.
2.5 pts
Fin du sujet