Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir surveillé 1

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(10 points)
Continuité d'une fonction numérique, Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et Fonction Réciproque
Ce premier exercice évalue la maîtrise des concepts de continuité, de la détermination des images d'intervalles, de l'application du théorème des valeurs intermédiaires pour l'existence de solutions d'équations, ainsi que de l'étude et la caractérisation d'une fonction réciproque.
Partie A - 1)Soit gg la fonction définie sur [−1,+∞[[-1, +\infty[ par : g(x)=x+1−1xg(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} si x≠0x \neq 0 et g(0)=ag(0) = a (où a∈Ra \in \mathbb{R}). Déterminer la valeur de aa pour que la fonction gg soit continue en 00.
2.5 pts
Partie B - 1)Soit ff la fonction définie sur l'intervalle I=[1,+∞[I = [1, +\infty[ par : f(x)=x2−2x+2f(x) = x^2 - 2x + 2. Justifier que la fonction ff est continue sur l'intervalle II.
1 pt
Partie B - 2)Montrer que ff est strictement croissante sur l'intervalle II.
1.5 pts
Partie B - 3)Montrer que la fonction ff admet une fonction réciproque f−1f^{-1} définie sur un intervalle JJ que l'on précisera.
1.5 pts
Partie B - 4)Déterminer l'expression de f−1(x)f^{-1}(x) pour tout x∈Jx \in J.
2 pts
Partie B - 5)Montrer que l'équation f(x)=4f(x) = 4 admet une unique solution α\alpha dans l'intervalle ]2,3[]2, 3[.
1.5 pts
Exercice 2(10 points)
Dérivabilité et étude globale d'une fonction irrationnelle
Cet exercice permet d'évaluer les compétences liées à l'étude de la dérivabilité (notamment en un point aux bornes du domaine), le calcul de la fonction dérivée, l'élaboration du tableau de variations complet, et l'équation de la tangente.
1)Soit hh la fonction définie sur [0,+∞[[0, +\infty[ par : h(x)=(x−2)xh(x) = (x-2)\sqrt{x}. Étudier la dérivabilité de la fonction hh à droite en 00, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2.5 pts
2)Montrer que pour tout x>0x > 0, la fonction hh est dérivable et que sa dérivée est donnée par : h′(x)=3x−22xh'(x) = \frac{3x-2}{2\sqrt{x}}.
2.5 pts
3)Dresser le tableau de variations complet de la fonction hh sur [0,+∞[[0, +\infty[ (calculer préalablement la limite de h(x)h(x) quand xx tend vers +∞+\infty).
2.5 pts
4)Déterminer l'équation de la tangente (T)(T) à la courbe représentative de hh au point d'abscisse x0=1x_0 = 1.
2.5 pts
Fin du sujet