Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 3

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(8 points)
Fonctions logarithmiques
Cet exercice vise à évaluer les compétences relatives à la résolution d'équations logarithmiques, au calcul de limites fondamentales et à l'étude des variations d'une fonction comportant la fonction logarithme népérien.
1)Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation suivante : ln⁡(x+2)+ln⁡(x)=ln⁡(3)\ln(x + 2) + \ln(x) = \ln(3)
2 pts
2)Déterminer les limites suivantes : lim⁡x→+∞ln⁡xx2etlim⁡x→0+(x+1)ln⁡x\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} (x + 1)\ln x
2 pts
3.a)Soit la fonction gg définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[ par g(x)=2x−2−ln⁡xg(x) = 2x - 2 - \ln x. Calculer la dérivée g′(x)g'(x) pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[ et dresser le tableau de variations de gg sur ]0,+∞[]0, +\infty[.
2 pts
3.b)Calculer g(12)g\left(\frac{1}{2}\right) puis en déduire que pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[, on a : 2x−2≥ln⁡x2x - 2 \ge \ln x
2 pts
Exercice 2(12 points)
Nombres complexes
Cet exercice traite de la résolution d'équations du second degré dans C\mathbb{C}, de la manipulation des formes algébriques, trigonométriques et exponentielles, ainsi que de leurs applications géométriques et des transformations du plan.
1)Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes C\mathbb{C} l'équation : z2−22z+4=0z^2 - 2\sqrt{2}z + 4 = 0
2 pts
2)On pose a=2+i2a = \sqrt{2} + i\sqrt{2} et b=1+i3b = 1 + i\sqrt{3}. Écrire aa et bb sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle.
2.5 pts
3.a)Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u⃗,v⃗)(O; \vec{u}, \vec{v}), on considère les points AA et BB d'affixes respectives aa et bb. Déterminer le module et un argument de ba\frac{b}{a}, puis en déduire la nature du triangle OABOAB.
2 pts
3.b)Soit CC le point d'affixe c=a+bc = a + b. Montrer que le quadrilatère OACBOACB est un losange.
2.5 pts
4.a)Soit RR la rotation de centre OO et d'angle π3\frac{\pi}{3}. Donner l'écriture complexe de la rotation RR.
1.5 pts
4.b)Déterminer l'affixe a′a' du point A′A', image du point AA par la rotation RR, sous forme algébrique.
1.5 pts
Fin du sujet