Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 3

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(8 points)
Fonctions logarithmiques
On considère la fonction numérique ff définie sur l'intervalle ]0,+∞[]0, +\infty[ par : f(x)=x−2+ln⁡(x)f(x) = x - 2 + \ln(x)
1)Calculer les limites de la fonction ff aux bornes de son domaine de définition, c'est-à-dire : lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).
1.5 pts
2)Calculer la fonction dérivée f′(x)f'(x) pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[, puis dresser le tableau de variations complet de la fonction ff.
2 pts
3.a)Montrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha dans l'intervalle ]0,+∞[]0, +\infty[ et vérifier que 1<α<21 < \alpha < 2.
1.5 pts
3.b)En déduire le signe de f(x)f(x) sur ]0,+∞[]0, +\infty[.
1 pt
4)Soit gg la fonction définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[ par : g(x)=x2−4x+2xln⁡(x)g(x) = x^2 - 4x + 2x\ln(x). Montrer que la fonction gg est une primitive de la fonction x↦2f(x)x \mapsto 2f(x) sur ]0,+∞[]0, +\infty[.
2 pts
Exercice 2(6 points)
Nombres complexes - Résolution d'équations et formes d'un complexe
Le but de cet exercice est de résoudre une équation du second degré dans l'ensemble des nombres complexes et d'étudier les puissances d'un nombre complexe.
1)Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes C\mathbb{C} l'équation : z2−6z+12=0z^2 - 6z + 12 = 0
1.5 pts
2.a)Écrire le nombre complexe u=3+i3u = 3 + i\sqrt{3} sous sa forme trigonométrique et sous sa forme exponentielle.
1.5 pts
2.b)En déduire la forme trigonométrique du nombre complexe u6u^6 puis déterminer sa forme algébrique.
1 pt
3)Soit le nombre complexe w=u2=32+i32w = \frac{u}{2} = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe w2024w^{2024}.
2 pts
Exercice 3(6 points)
Nombres complexes et Géométrie - Transformations du plan
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O, \vec{u}, \vec{v}), on considère les points AA, BB et CC d'affixes respectives : a=2+i,b=3+2i,c=1+2ia = 2 + i, \quad b = 3 + 2i, \quad c = 1 + 2i
1)Calculer le rapport c−ab−a\frac{c-a}{b-a} et en déduire la nature exacte du triangle ABCABC.
2 pts
2.a)Soit RR la rotation de centre AA et d'angle π2\frac{\pi}{2}. Déterminer l'écriture complexe de la rotation RR.
1.5 pts
2.b)Déterminer l'affixe du point DD, image du point BB par la rotation RR, et vérifier géométriquement que D=CD = C.
1 pt
3.a)Soit TT la translation de vecteur de translation d'affixe t=−2+3it = -2 + 3i. Calculer l'affixe ee du point EE, image de CC par la translation TT.
0.5 pt
3.b)Démontrer que les points AA, CC et EE ne sont pas alignés.
1 pt
Fin du sujet