Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 2

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(3 points)
Fonctions primitives
Cet exercice vise à vérifier la maîtrise de la recherche de primitives pour des fonctions usuelles et composites.
1)Soit la fonction ff définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[ par f(x)=4x3−3x2+2x2f(x) = 4x^3 - 3x^2 + \frac{2}{x^2}. Déterminer la primitive FF de ff sur ]0,+∞[]0, +\infty[ vérifiant la condition initiale F(1)=2F(1) = 2.
1.5 pts
2)Soit la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=(2x−3)(x2−3x+5)3g(x) = (2x - 3)(x^2 - 3x + 5)^3. Déterminer l'ensemble des primitives de gg sur R\mathbb{R}.
1.5 pts
Exercice 2(9 points)
Suites numériques
On considère la suite numérique (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par u0=2u_0 = 2 et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par : un+1=2un+3un+4u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 4}
1)Montrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un>1u_n > 1.
2 pts
2)Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1−un=−(un−1)(un+3)un+4u_{n+1} - u_n = \frac{-(u_n - 1)(u_n + 3)}{u_n + 4}, puis en déduire la monotonie de la suite (un)(u_n) et prouver qu'elle est convergente.
2 pts
3.a)On pose vn=un−1un+3v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 3} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=15q = \frac{1}{5} et préciser son premier terme v0v_0.
1.5 pts
3.b)Exprimer vnv_n en fonction de nn, puis montrer que un=1+3vn1−vnu_n = \frac{1 + 3v_n}{1 - v_n} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
1 pt
4)Calculer lim⁡n→+∞vn\lim_{n \to +\infty} v_n puis en déduire la limite de la suite (un)(u_n).
2.5 pts
Exercice 3(8 points)
Étude de fonctions
Soit ff la fonction numérique définie sur R\mathbb{R} par f(x)=1+xx2+1f(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} On note (Cf)(\mathcal{C}_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).
1)Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x) et lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x), puis interpréter géométriquement les résultats obtenus.
1.5 pts
2)Montrer que ff est dérivable sur R\mathbb{R} et que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, f′(x)=1(x2+1)x2+1f'(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}, puis dresser le tableau de variations complet de ff.
2 pts
3)Montrer que ff réalise une bijection de R\mathbb{R} sur un intervalle JJ à déterminer.
1.5 pts
4)Soit f−1f^{-1} la fonction réciproque de ff. Déterminer explicitement l'expression de f−1(x)f^{-1}(x) pour tout x∈Jx \in J.
2 pts
5)Montrer que l'équation f(x)=xf(x) = x admet une unique solution α\alpha dans l'intervalle ]1,2[]1, 2[.
1 pt
Fin du sujet