Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 2

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(3 points)
Fonctions primitives
Cet exercice vise à évaluer la capacité de l'élève à déterminer des primitives de fonctions usuelles et d'expressions composées simples.
1)Soit la fonction ff définie sur I=]0,+∞[I = ]0, +\infty[ par : f(x)=3x2−2+12xf(x) = 3x^2 - 2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}. Déterminer la forme générale des primitives de la fonction ff sur l'intervalle II.
1.5 pts
2)Soit la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par : g(x)=2x+1(x2+x+1)2g(x) = \frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2}. Déterminer la primitive GG de la fonction gg sur R\mathbb{R} qui vérifie la condition initiale G(0)=2G(0) = 2.
1.5 pts
Exercice 2(9 points)
Suites numériques
On considère la suite numérique (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par u0=2u_0 = 2 et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} : un+1=3un−1un+1u_{n+1} = \frac{3u_n - 1}{u_n + 1}
1)Montrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un>1u_n > 1.
1.5 pts
2)Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1−un=−(un−1)2un+1u_{n+1} - u_n = -\frac{(u_n - 1)^2}{u_n + 1}. En déduire la monotonie de la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} puis montrer qu'elle est convergente.
2 pts
3.a)On pose pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, vn=1un−1v_n = \frac{1}{u_n - 1}. Montrer que (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}} est une suite arithmétique de raison r=12r = \frac{1}{2} et préciser son premier terme v0v_0.
2 pts
3.b)Exprimer vnv_n en fonction de nn, puis en déduire que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} : un=n+4n+2u_n = \frac{n + 4}{n + 2}.
2 pts
4)Déterminer la limite de la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}.
1.5 pts
Exercice 3(8 points)
Étude de fonctions
Soit ff la fonction numérique définie sur I=[0,+∞[I = [0, +\infty[ par : f(x)=x+1−2xf(x) = x + 1 - 2\sqrt{x} Soit (Cf)(\mathcal{C}_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).
1)Étudier la dérivabilité de la fonction ff à droite en x0=0x_0 = 0 et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
1.5 pts
2)Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x), puis calculer lim⁡x→+∞f(x)x\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} et interpréter la branche infinie correspondante.
1.5 pts
3)Montrer que pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[, f′(x)=x−1xf'(x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}, puis dresser le tableau de variations complet de la fonction ff sur II.
2 pts
4.a)Montrer que la restriction gg de la fonction ff à l'intervalle J=[1,+∞[J = [1, +\infty[ admet une fonction réciproque g−1g^{-1} définie sur un intervalle KK à déterminer.
1.5 pts
4.b)Calculer g(4)g(4), puis déterminer (g−1)′(1)(g^{-1})'(1).
1.5 pts
Fin du sujet