Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 2

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(9 points)
Suites numériques
Soit la suite numérique (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par : u0=2etun+1=2un+3un+4∀n∈Nu_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 4} \quad \forall n \in \mathbb{N}
1)Montrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un>1u_n > 1.
1.5 pts
2)Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} : un+1−un=(1−un)(un+3)un+4u_{n+1} - u_n = \frac{(1-u_n)(u_n+3)}{u_n+4}, puis en déduire la monotonie de la suite (un)(u_n) et prouver qu'elle est convergente.
2 pts
3)Soit la suite numérique (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par : vn=un−1un+3v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 3}. Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=15q = \frac{1}{5} et calculer son premier terme v0v_0.
2 pts
4)Exprimer vnv_n en fonction de nn, puis en déduire que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} : un=1+3vn1−vnu_n = \frac{1 + 3v_n}{1 - v_n}.
2 pts
5)Calculer la limite de la suite (vn)(v_n) puis en déduire la limite de la suite (un)(u_n).
1.5 pts
Exercice 2(8 points)
Fonctions numériques - Étude des fonctions
Soit ff la fonction numérique définie sur l'intervalle I=[1,+∞[I = [1, +\infty[ par : f(x)=x−2x+2f(x) = x - 2\sqrt{x} + 2. On désigne par (Cf)(C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).
1)Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x) et étudier la branche infinie de la courbe (Cf)(C_f) au voisinage de +∞+\infty.
2 pts
2)Montrer que ff est dérivable sur l'intervalle ]1,+∞[]1, +\infty[ et que pour tout x>1x > 1 : f′(x)=x−1xf'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}. Dresser ensuite le tableau de variations complet de ff sur II.
2 pts
3)Montrer que l'équation f(x)=3f(x) = 3 admet une unique solution α\alpha dans l'intervalle [1,7][1, 7].
1.5 pts
4)Montrer que ff admet une fonction réciproque f−1f^{-1} définie sur un intervalle JJ que l'on précisera.
1.5 pts
5)Déterminer explicitement f−1(x)f^{-1}(x) pour tout x∈Jx \in J.
1 pt
Exercice 3(3 points)
Fonctions primitives
L'objectif de cet exercice est de déterminer des fonctions primitives en mobilisant les techniques et formules de dérivation usuelles.
1)Déterminer toutes les fonctions primitives de la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par : g(x)=3x2−2x+5g(x) = 3x^2 - 2x + 5.
1 pt
2)Soit la fonction hh définie sur l'intervalle ]1,+∞[]1, +\infty[ par : h(x)=2x(x2−1)2h(x) = \frac{2x}{(x^2 - 1)^2}. Déterminer la fonction primitive HH de hh sur ]1,+∞[]1, +\infty[ qui vérifie la condition initiale H(2)=0H(2) = 0.
2 pts
Fin du sujet