Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 1

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(10 points)
Continuité des fonctions numériques, Théorème des valeurs intermédiaires et Fonction réciproque
Soit ff la fonction numérique définie sur l'intervalle I=[−1,+∞[I = [-1, +\infty[ par : f(x)=x+1+x−3f(x) = \sqrt{x + 1} + x - 3
1)Justifier la continuité de la fonction ff sur l'intervalle I=[−1,+∞[I = [-1, +\infty[.
1.5 pts
2)Montrer que la fonction ff est strictement croissante sur II, puis déterminer l'image de l'intervalle [0,3][0, 3] par la fonction ff.
2 pts
3)Montrer que l'équation f(x)=0f(x) = 0 admet une solution unique α\alpha dans l'intervalle ]1,2[]1, 2[.
2.5 pts
4)En utilisant la méthode de dichotomie, déterminer un encadrement de α\alpha d'amplitude 0,250{,}25.
2 pts
5)Montrer que ff admet une fonction réciproque f−1f^{-1} définie sur un intervalle JJ à préciser, puis exprimer f−1(x)f^{-1}(x) pour tout x∈Jx \in J.
2 pts
Exercice 2(10 points)
Dérivabilité, étude des variations, tangente et dérivabilité de la fonction réciproque
Soit gg la fonction numérique définie sur D=[0,+∞[D = [0, +\infty[ par : g(x)=(x−1)xg(x) = (x - 1)\sqrt{x}
1)Étudier la dérivabilité de la fonction gg à droite en x0=0x_0 = 0, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2 pts
2)Montrer que pour tout x∈]0,+∞[x \in ]0, +\infty[, la fonction gg est dérivable et que g′(x)=3x−12xg'(x) = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}.
2.5 pts
3)Étudier le signe de g′(x)g'(x) sur ]0,+∞[]0, +\infty[, dresser le tableau de variations complet de gg sur [0,+∞[[0, +\infty[, puis en déduire l'existence d'un minimum absolu pour gg.
2.5 pts
4)Déterminer l'équation cartésienne de la tangente (T)(T) à la courbe (Cg)(\mathcal{C}_g) au point d'abscisse x0=1x_0 = 1.
1.5 pts
5)Soit hh la restriction de gg à l'intervalle K=[13,+∞[K = \left[\frac{1}{3}, +\infty\right[. Justifier que h−1h^{-1} est dérivable en y0=0y_0 = 0 et calculer (h−1)′(0)(h^{-1})'(0).
1.5 pts
Fin du sujet