Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 1

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(10 points)
Continuité, Théorème des Valeurs Intermédiaires et Fonction Réciproque
Soit ff la fonction numérique définie sur R\mathbb{R} par : f(x)={x+3−2x−1si x>1x2+18si x≤1f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} & \text{si } x > 1 \\ \dfrac{x^2+1}{8} & \text{si } x \le 1 \end{cases}
1)Montrer que ff est continue au point x0=1x_0 = 1.
2 pts
2)Étudier la continuité de ff sur chacun des intervalles ]−∞,1[]-\infty, 1[ et ]1,+∞[]1, +\infty[, puis en déduire la continuité de ff sur R\mathbb{R}.
1.5 pts
3)Soit gg la restriction de ff à l'intervalle I=]1,+∞[I = ]1, +\infty[. Montrer que pour tout x∈Ix \in I, g(x)=1x+3+2g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}, puis déterminer la monotonie de gg sur II.
1.5 pts
4)Déterminer l'image de l'intervalle I=]1,+∞[I = ]1, +\infty[ par la fonction gg.
1.5 pts
5)Montrer que l'équation g(x)=15g(x) = \dfrac{1}{5} admet une unique solution α\alpha dans II, puis vérifier que 4<α<74 < \alpha < 7.
1.5 pts
6)Montrer que gg admet une fonction réciproque g−1g^{-1} définie sur un intervalle JJ à préciser, et déterminer l'expression de g−1(x)g^{-1}(x) pour tout x∈Jx \in J.
2 pts
Exercice 2(10 points)
Dérivabilité, étude des variations et interprétation géométrique
On considère deux fonctions hh et kk définies sur R\mathbb{R} et [0,+∞[[0, +\infty[ respectivement.
1)Soit hh la fonction définie sur R\mathbb{R} par h(x)=x3−3x+1h(x) = x^3 - 3x + 1. Étudier la dérivabilité de hh sur R\mathbb{R}, calculer sa dérivée h′(x)h'(x), et étudier son signe.
2.5 pts
2)Déterminer l'équation cartésienne de la tangente (T)(T) à la courbe représentative de hh au point d'abscisse x0=2x_0 = 2.
1.5 pts
3)Soit kk la fonction définie sur [0,+∞[[0, +\infty[ par k(x)=xx−3xk(x) = x\sqrt{x} - 3x. Étudier la dérivabilité de kk à droite en x0=0x_0 = 0 et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2 pts
4)Montrer que kk est dérivable sur ]0,+∞[]0, +\infty[ et que pour tout x>0x > 0, k′(x)=32x−3k'(x) = \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 3.
2 pts
5)Étudier le signe de k′(x)k'(x) sur ]0,+∞[]0, +\infty[ et dresser le tableau de variations complet de la fonction kk sur [0,+∞[[0, +\infty[.
2 pts
Fin du sujet