Matière : Mathématiques

Niveau : 2BACSEF

Devoir à la maison 1

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(10 points)
Continuité d'une fonction numérique, TVI et fonction réciproque
Cet exercice permet d'évaluer la maîtrise de la continuité en un point pour une fonction définie par morceaux, l'application du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution, ainsi que la détermination de la fonction réciproque d'une bijection.
1)Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : {f(x)=x2+7−4x−3si x>3f(x)=x2−3x4(x−3)si x<3f(3)=34\begin{cases} f(x) = \frac{\sqrt{x^2+7}-4}{x-3} & \text{si } x > 3 \\ f(x) = \frac{x^2-3x}{4(x-3)} & \text{si } x < 3 \\ f(3) = \frac{3}{4} \end{cases} Étudier la continuité de la fonction ff au point x0=3x_0 = 3.
3 pts
2)Montrer que l'équation x3+x2+2x−1=0x^3 + x^2 + 2x - 1 = 0 admet une unique solution α\alpha dans l'intervalle ]0,1[]0, 1[.
3 pts
3.a)Soit gg la fonction définie sur l'intervalle I=[1,+∞[I = [1, +\infty[ par g(x)=x2−2x+3g(x) = x^2 - 2x + 3. Montrer que gg admet une fonction réciproque g−1g^{-1} définie sur un intervalle JJ que l'on déterminera.
2 pts
3.b)Déterminer explicitement l'expression de g−1(x)g^{-1}(x) pour tout x∈Jx \in J.
2 pts
Exercice 2(10 points)
Dérivabilité, calcul de dérivées, variations et fonction réciproque
Cet exercice évalue l'aptitude des élèves à étudier la dérivabilité en un point et son interprétation géométrique, à calculer des dérivées de fonctions composées et de puissances rationnelles, à étudier les variations d'une fonction pour en déduire des propriétés globales, et à utiliser le nombre dérivé d'une fonction réciproque.
1)Soit la fonction hh définie sur [0,+∞[[0, +\infty[ par h(x)=xx−2xh(x) = x\sqrt{x} - 2x. Étudier la dérivabilité de hh à droite au point x0=0x_0 = 0 et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
2 pts
2)Calculer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué : a) f1(x)=xx+1f_1(x) = \sqrt{\frac{x}{x+1}} sur D=]0,+∞[D = ]0, +\infty[ b) f2(x)=(2x2+1)34f_2(x) = (2x^2 + 1)^{\frac{3}{4}} sur R\mathbb{R}
3 pts
3.a)Soit la fonction kk définie sur R\mathbb{R} par k(x)=2x3−3x2−12x+5k(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5. Dresser le tableau de variations complet de la fonction kk sur R\mathbb{R}.
1.5 pts
3.b)En utilisant le tableau de variations de kk, déterminer le nombre exact de solutions de l'équation k(x)=0k(x) = 0 sur l'intervalle [−2,4][-2, 4].
1.5 pts
4.a)Soit la fonction uu définie sur R\mathbb{R} par u(x)=x3+2x−1u(x) = x^3 + 2x - 1. Montrer que uu est strictement croissante sur R\mathbb{R} et qu'elle réalise une bijection de R\mathbb{R} vers R\mathbb{R}.
0.75 pt
4.b)Vérifier que u(1)=2u(1) = 2, puis calculer le nombre dérivé (u−1)′(2)(u^{-1})'(2).
1.25 pts
Fin du sujet