Matière : Mathématiques

Niveau : 1BACSEF

Devoir surveillé 3

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(12 points)
Etude de fonctions et représentation graphique
Soit ff la fonction numérique définie par f(x)=x2−3x+3x−1f(x) = \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1} et soit (Cf)(C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}) (unité : 1 cm1\text{ cm}).
1.a)Déterminer le domaine de définition DfD_f de la fonction ff, puis calculer lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x \to +\infty} f(x).
1 pt
1.b)Calculer lim⁡x→1−f(x)\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) et lim⁡x→1+f(x)\lim\limits_{x \to 1^+} f(x), puis donner une interprétation géométrique des résultats obtenus.
1 pt
2.a)Vérifier que pour tout x∈Dfx \in D_f, f(x)=x−2+1x−1f(x) = x - 2 + \frac{1}{x - 1}.
0.5 pt
2.b)Démontrer que la droite (D)(D) d'équation y=x−2y = x - 2 est une asymptote oblique à la courbe (Cf)(C_f) au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty.
1 pt
2.c)Étudier la position relative de la courbe (Cf)(C_f) par rapport à la droite (D)(D).
1 pt
3.a)Montrer que la fonction ff est dérivable sur DfD_f et que sa fonction dérivée est donnée par f′(x)=x(x−2)(x−1)2f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}.
1.5 pts
3.b)Étudier le signe de f′(x)f'(x) sur DfD_f et dresser le tableau de variations complet de la fonction ff.
1.5 pts
3.c)Déduire les extremums locaux de la fonction ff.
0.5 pt
4)Montrer que le point Ω(1,−1)\Omega(1, -1) est un centre de symétrie pour la courbe (Cf)(C_f).
1 pt
5)Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T)(T) à la courbe (Cf)(C_f) au point d'abscisse x0=2x_0 = 2.
1 pt
6)Tracer les asymptotes, la tangente (T)(T) ainsi que la courbe (Cf)(C_f) dans le repère (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).
2 pts
Exercice 2(8 points)
Analytique de l’espace
Dans l'espace muni d'un repère (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère les points A(1,1,0)A(1, 1, 0), B(2,0,1)B(2, 0, 1), C(0,2,1)C(0, 2, 1) et D(1,2,3)D(1, 2, 3).
1.a)Déterminer les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} et AD→\overrightarrow{AD}.
1 pt
1.b)Calculer le déterminant det⁡(AB→,AC→,AD→)\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) et en déduire que les points AA, BB, CC et DD ne sont pas coplanaires.
1.5 pts
2.a)Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB)(AB).
1 pt
2.b)Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC)(ABC).
1 pt
3)Montrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC)(ABC) est : x+y−2=0x + y - 2 = 0.
1.5 pts
4.a)Soit (Δ)(\Delta) la droite passant par D(1,2,3)D(1, 2, 3) et de vecteur directeur u⃗(0,1,1)\vec{u}(0, 1, 1). Donner une représentation paramétrique de la droite (Δ)(\Delta).
1 pt
4.b)Étudier la position relative de la droite (Δ)(\Delta) et du plan (ABC)(ABC) en déterminant leur point d'intersection s'il existe.
1 pt
Fin du sujet