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* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(12 points)

Dérivabilité et étude de fonctions

On considère la fonction numérique

g

définie sur

\mathbb{R}

par

g(x) = x^3 - 3x + 1

et la fonction

h

définie sur

[0, +\infty[

par

h(x) = \sqrt{2x + 1}

1.a)Calculer la limite

\lim\limits_{x \to 1} \frac{g(x) - g(1)}{x - 1}

et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

1.5 pts

1.b)Déterminer une équation cartésienne de la tangente

(T)

à la courbe représentative

\mathcal{C}_g

au point d'abscisse

x_0 = 1

1 pt

2)Calculer la fonction dérivée

g'(x)

de la fonction

g

pour tout

x \in \mathbb{R}

1.5 pts

3)Étudier le signe de

g'(x)

sur

\mathbb{R}

puis dresser le tableau de variations complet de la fonction

g

sur

[-2, 2]

2 pts

4)Déterminer les extremums relatifs (locaux) de la fonction

g

sur l'intervalle

[-2, 2]

1.5 pts

5)Déterminer l'approximation affine de

g(1 + h)

pour

h

au voisinage de

0

, puis donner une valeur approchée de

g(1{,}002)

1.5 pts

6)Montrer que la fonction

h

est dérivable sur

]0, +\infty[

et calculer sa dérivée

h'(x)

1.5 pts

7)Dresser le tableau de variations de

h

sur

[0, +\infty[

et en déduire le signe de

h(x) - 1

pour tout

x \in [0, +\infty[

1.5 pts

Exercice 2(8 points)

Vecteurs de l’espace et géométrie vectorielle

Soit

ABCD

un tétraèdre dans l'espace. On considère les points

I

J

K

définis par :

\overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{AJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{DK} = 2\overrightarrow{DC}

1)Montrer que

\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}

. Que peut-on en déduire pour les droites

(IJ)

(BC)

2 pts

2)Exprimer le vecteur

\overrightarrow{IK}

en fonction des vecteurs

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{AD}

2 pts

3)Montrer que les vecteurs

\overrightarrow{IJ}

\overrightarrow{IK}

\overrightarrow{CD}

sont coplanaires.

2 pts

4)En déduire la position relative de la droite

(IK)

et du plan

(BCD)

2 pts