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* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(10 points)

Limite d’une fonction numérique

Calculs de limites de fonctions polynomiales, rationnelles, irrationnelles et trigonométriques.

1.a)Calculer la limite suivante :

\lim\limits_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 3x - 1)

1.5 pts

1.b)Calculer la limite suivante :

\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}

2 pts

1.c)Calculer la limite suivante :

\lim\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1}

2 pts

1.d)Calculer la limite suivante :

\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x} - x\right)

2.5 pts

2.a)Calculer la limite trigonométrique suivante :

\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\tan(2x)}

1 pt

2.b)Calculer la limite trigonométrique suivante :

\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x \sin(x)}

1 pt

Exercice 2(10 points)

La rotation

Soit

ABC

un triangle équilatéral direct du plan orientation positive. On considère la rotation

R

de centre

A

et d'angle

\frac{\pi}{3}

1)Déterminer l'image du point

A

par la rotation

R

, puis justifier que

R(B) = C

1.5 pts

2)Construire le point

C'

image du point

C

par la rotation

R

, puis préciser la nature du triangle

ACC'

2.5 pts

3.a)Soit

(\mathcal{C})

le cercle de centre

B

et passant par

A

. Déterminer et construire l'image du cercle

(\mathcal{C})

par la rotation

R

3 pts

3.b)Soit

I

le milieu du segment

[BC]

I' = R(I)

. Montrer que

I'

est le milieu du segment

[CC']

et en déduire que les triangles

ABI

ACI'

sont isométriques.

3 pts