Matière : Mathématiques

Niveau : 1BACSEF

Devoir à la maison 3

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(12 points)
Étude de fonctions et représentation graphique
Soit ff la fonction numérique définie par f(x)=x2−3x+3x−1f(x) = \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1} et (Cf)(C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗)(O; \vec{i}, \vec{j}).
1.a)Déterminer DfD_f, l'ensemble de définition de la fonction ff, puis calculer les limites aux bornes de DfD_f : lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x \to -\infty} f(x), lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x \to +\infty} f(x), lim⁡x→1−f(x)\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) et lim⁡x→1+f(x)\lim\limits_{x \to 1^+} f(x).
1.5 pts
1.b)En déduire les asymptotes à la courbe (Cf)(C_f). Montrer notamment que la droite (D)(\mathcal{D}) d'équation y=x−2y = x - 2 est une asymptote oblique à (Cf)(C_f) au voisinage de +∞+\infty et de −∞-\infty.
1 pt
2.a)Montrer que pour tout x∈Dfx \in D_f, la dérivée de ff est donnée par f′(x)=x(x−2)(x−1)2f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}.
1.5 pts
2.b)Étudier le signe de f′(x)f'(x) sur DfD_f et dresser le tableau de variations complet de la fonction ff.
1.5 pts
3.a)Montrer que le point Ω(1,−1)\Omega(1, -1) est un centre de symétrie pour la courbe (Cf)(C_f).
1.5 pts
3.b)Calculer la dérivée seconde f′′(x)f''(x) sur DfD_f, étudier la concavité de (Cf)(C_f) et préciser ses éventuels points d'inflexion.
1 pt
4.a)Déterminer l'équation cartésienne de la tangente (T)(T) à la courbe (Cf)(C_f) au point d'abscisse x0=3x_0 = 3.
1.5 pts
4.b)Construire la tangente (T)(T), les asymptotes ainsi que la courbe (Cf)(C_f) dans le repère (O;i⃗,j⃗)(O; \vec{i}, \vec{j}).
2.5 pts
Exercice 2(8 points)
Analytique de l’espace
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}). On considère les points A(1,0,1)A(1, 0, 1), B(2,1,0)B(2, 1, 0), C(0,1,2)C(0, 1, 2) et D(3,2,−1)D(3, 2, -1).
1.a)Calculer les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}, puis vérifier que les points AA, BB et CC ne sont pas alignés.
1 pt
1.b)On considère le vecteur u⃗(2,−4,6)\vec{u}(2, -4, 6) et le vecteur v⃗(−1,2,−3)\vec{v}(-1, 2, -3). Démontrer que les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires.
1 pt
1.c)Calculer le déterminant det⁡(AB→,AC→,AD→)\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) et en déduire si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} et AD→\overrightarrow{AD} sont coplanaires.
1.5 pts
2.a)Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC)(ABC) passant par A(1,0,1)A(1, 0, 1) et de vecteurs directeurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}, ainsi qu'une représentation paramétrique de la droite (Δ)(\Delta) passant par D(3,2,−1)D(3, 2, -1) et dirigée par w⃗(1,0,1)\vec{w}(1, 0, 1).
2.5 pts
2.b)Étudier la position relative de la droite (Δ)(\Delta) et du plan (ABC)(ABC) (intersection ou parallélisme).
2 pts
Fin du sujet