Matière : Mathématiques

Niveau : 1BACSEF

Devoir à la maison 2

Semestre 2
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(12 points)
Dérivabilité et étude de fonctions
On considère les fonctions numériques ff et gg définies respectivement par f(x)=2x−1x+1f(x) = \frac{2x-1}{x+1} sur R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\} et g(x)=x3−3x+2g(x) = x^3 - 3x + 2 sur R\mathbb{R}.
1.a)Étudier la dérivabilité de la fonction ff au point x0=1x_0 = 1 en calculant la limite lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1\lim\limits_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}, puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
2 pts
1.b)Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T)(T) à la courbe représentative (Cf)(C_f) au point d'abscisse x0=1x_0 = 1.
1.5 pts
2)Calculer la fonction dérivée g′g' de la fonction gg pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.
2 pts
3)Étudier le signe de g′(x)g'(x) sur l'intervalle [−2,2][-2, 2] et dresser le tableau de variations de gg sur cet intervalle.
2.5 pts
4)Déduire du tableau de variations de gg les extremums locaux (maximum et minimum) de la fonction gg sur [−2,2][-2, 2].
2 pts
5)Déterminer l'approximation affine de g(1+h)g(1+h) pour hh voisin de 00.
2 pts
Exercice 2(8 points)
Calcul vectoriel, colinéarité et coplanarité dans l'espace
Soit ABCDABCD un tétraèdre dans l'espace. Soient II le milieu du segment [AB][AB] et JJ le milieu du segment [CD][CD]. On considère également les points EE et FF définis par les relations vectorielles : AE→=13AD→etBF→=13BC→\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{BF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}
1)En utilisant la relation de Chasles, exprimer le vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} en fonction de AC→\overrightarrow{AC} et BD→\overrightarrow{BD}.
2 pts
2)Soit KK le point défini par AK→=13AB→\overrightarrow{AK} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}. Montrer que les vecteurs AK→\overrightarrow{AK} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires, puis en déduire l'alignement des points AA, KK et BB.
1.5 pts
3)Démontrer que EF→=23AB→+13DC→\overrightarrow{EF} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{DC}.
2.5 pts
4)Justifier que les trois vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} et AD→\overrightarrow{AD} ne sont pas coplanaires, puis exprimer le vecteur EF→\overrightarrow{EF} comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs.
2 pts
Fin du sujet