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* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(10 points)

Limite d’une fonction numérique

Étude et calcul de diverses limites de fonctions numériques (polynomiales, rationnelles, irrationnelles et trigonométriques) ainsi qu'application des théorèmes de comparaison.

1.a)Calculer la limite suivante :

\lim\limits_{x \to +\infty} (2x^3 - 3x^2 + 5)

1 pt

1.b)Calculer la limite suivante :

\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}

1 pt

1.c)Calculer la limite suivante :

\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{x}

1 pt

1.d)Calculer les limites à droite et à gauche en

x_0 = 1

de la fonction

f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}

1 pt

2.a)Calculer la limite trigonométrique suivante :

\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\tan(2x)}

1.5 pts

2.b)Calculer la limite trigonométrique suivante :

\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x}

1.5 pts

3)Soit

g

une fonction numérique telle que pour tout

x > 0

2 - \frac{1}{x} \le g(x) \le 2 + \frac{1}{x^2}

Déterminer

\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)

en justifiant la réponse.

3 pts

Exercice 2(10 points)

La rotation

Soit

ABC

un triangle équilatéral direct du plan tel que

(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]

. On considère la rotation

r

de centre

A

et d'angle

\frac{\pi}{3}

1.a)Déterminer l'image du point

B

par la rotation

r

. Justifier avec précision.

1.5 pts

1.b)Soit

C'

l'image du point

C

par la rotation

r

. Construire le point

C'

et montrer que le triangle

ACC'

est un triangle équilatéral.

2.5 pts

2.a)Soit

I

le milieu du segment

[BC]

I'

son image par

r

. Montrer que

I'

est le milieu du segment

[CC']

2 pts

2.b)Démontrer que

AI = AI'

et déterminer une mesure de l'angle orienté

(\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AI'})

1 pt

3.a)Soit

(\mathcal{C})

le cercle de centre

B

et de rayon

BC

. Déterminer l'image du cercle

(\mathcal{C})

par la rotation

r

1.5 pts

3.b)Soit

M

un point du cercle

(\mathcal{C})

M'

son image par

r

. Démontrer que

C'M' = BC

1.5 pts