Matière : Mathématiques

Niveau : 1BACSEF

Devoir surveillé 3

Semestre 1
Durée : 2 heures
Note : /20

* L'usage des calculatrices non programmables est autorisé. La clarté et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.

Exercice 1(2 points)
Analytique du produit scalaire dans le plan
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i→,j→)(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}). On considère le cercle (C)(\mathcal{C}) de centre Ω(1,−2)\Omega(1, -2) et de rayon R=3R = 3.
1)Déterminer une équation cartésienne du cercle (C)(\mathcal{C}).
1 pt
2)Vérifier que le point A(1,1)A(1, 1) appartient au cercle (C)(\mathcal{C}) et déterminer une équation cartésienne de la droite (T)(\mathcal{T}), tangente au cercle (C)(\mathcal{C}) au point AA.
1 pt
Exercice 2(10 points)
Suites numériques
Soit (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} la suite numérique définie par : u0=2etun+1=13un+2pour tout n∈N u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}
1)Démontrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un<3u_n < 3.
2 pts
2)Montrer que la suite (un)(u_n) est strictement croissante.
1.5 pts
3.a)On pose pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, vn=un−3v_n = u_n - 3. Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=13q = \frac{1}{3} et déterminer son premier terme v0v_0.
2 pts
3.b)Exprimer vnv_n en fonction de nn, puis en déduire que un=3−(13)nu_n = 3 - \left(\frac{1}{3}\right)^n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
2 pts
4.a)On pose Sn=v0+v1+⋯+vnS_n = v_0 + v_1 + \dots + v_n. Calculer la somme SnS_n en fonction de nn.
1.5 pts
4.b)On pose Tn=u0+u1+⋯+unT_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n. En déduire l'expression de TnT_n en fonction de nn.
1 pt
Exercice 3(8 points)
Calcul trigonométrique
On considère pour tout réel xx l'expression : A(x)=cos⁡x+sin⁡xA(x) = \cos x + \sin x.
1.a)Rappeler la formule de linéarisation de cos⁡(2x)\cos(2x) en fonction de cos⁡2x\cos^2 x.
1 pt
1.b)Montrer que pour tout réel xx, A(x)=2cos⁡(x−π4)A(x) = \sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right).
1.5 pts
2)Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : cos⁡x+sin⁡x=62\cos x + \sin x = \frac{\sqrt{6}}{2}.
2.5 pts
3)Résoudre dans l'intervalle [0,2π[[0, 2\pi[ l'inéquation : cos⁡x+sin⁡x≥62\cos x + \sin x \ge \frac{\sqrt{6}}{2} en représentant les solutions sur le cercle trigonométrique.
3 pts
Fin du sujet